Question

（2009?佛山三模）新華社北京10月24日電，24日18時(shí)29分，星箭成功分離之后，嫦娥一號衛(wèi)星進(jìn)入半徑為205公里的圓軌道上繞地球做圓周運(yùn)動，衛(wèi)星在這個(gè)軌道上“奔跑”一圈半后，于25日下午進(jìn)行第一次變軌，變軌后，衛(wèi)星軌道半徑將抬高到離地球約600公里的地方．已知地球半徑為R，表面重力加速度為g，質(zhì)量為m的嫦娥一號衛(wèi)星在地球上空的萬有引力勢能為E_p=

mgR2

r

，（以無窮遠(yuǎn)處引力勢能為零），r表示物體到地心的距離．
（1）質(zhì)量為m的嫦娥一號衛(wèi)星以速率v在某一圓軌道上繞地球做圓周運(yùn)動，求此時(shí)衛(wèi)星距地球地面高度h₁；
（2）要使嫦娥一號衛(wèi)星上升，從離地高度h1再增加h的軌道上做勻速圓周運(yùn)動，衛(wèi)星發(fā)動機(jī)至少要做多少功？

Answer 1

分析：1、衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動靠萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合萬有引力等于重力求出軌道半徑的大小，從而求出衛(wèi)星距離地面的高度．
2、根據(jù)分別求出在離地高度h₁和h₁+h的軌道上的總機(jī)械能E₁、E₂，根據(jù)功能關(guān)系W=E₂-E₁，可計(jì)算衛(wèi)星發(fā)動機(jī)至少要做的功．

解答：解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，萬有引力恒量為G，衛(wèi)星距地面高度為h₁時(shí)速度為v，
對衛(wèi)星有G

Mm

(R+h1)2

=m

v2

R+h1

，對地面上物體有mg=G

Mm

R2

，
解以上兩式得h1=

gR2

v2

-R．
（2）衛(wèi)星在距地面高度h₁的軌道做勻速圓周運(yùn)動有G

Mm

(R+h1)2

=m

v2

R+h1

，得v2=

GM

(R+h1)

∴此時(shí)衛(wèi)星的動能Ek1=

1

2

mv2=

GMm

2(R+h1)

=

mgR2

2(R+h1)

，萬有引力勢能Ep1=-

mgR2

R+h1

，
衛(wèi)星在距地面高度h₁時(shí)的總機(jī)械能E1=Ek1+Ep1=

mgR2

2(R+h1)

-

mgR2

R+h1

=-

mgR2

2(R+h1)

．
同理，衛(wèi)星在距地面高度（h₁+h）時(shí)的總機(jī)械能E2=-

mgR2

2(R+h1+h)

．
由功能關(guān)系，衛(wèi)星發(fā)動機(jī)至少要做功 W=E₂-E₁=

mgR2h

2(R+h1)(R+h1+h)

．
答：（1）質(zhì)量為m的嫦娥一號衛(wèi)星以速率v在某一圓軌道上繞地球做圓周運(yùn)動，則此時(shí)衛(wèi)星距地球地面高度h₁為

gR2

v2

-R．
（2）要使嫦娥一號衛(wèi)星上升，從離地高度h1再增加h的軌道上做勻速圓周運(yùn)動，則衛(wèi)星發(fā)動機(jī)至少要做功為

mgR2h

2(R+h1)(R+h1+h)

．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

以及萬有引力等于重力這兩大理論．