Question

（19分）如圖所示，磁感應強度為B方向垂直紙面向里的勻強磁場中有一粒子源，粒子源從O點在紙面內均勻地向各個方向同時發射速率為υ，比荷為k的帶正電粒子.PQ是垂直紙面放置,厚度不計的擋板，擋板的P端與O點的連線跟擋板垂直，粒子打在擋板上會被吸收。帶電粒子的重力及粒子間的相互作用力忽略不計，磁場分布的區域足夠寬廣。 

（1）為了使帶電粒子不打在擋板上，粒子源到擋板的距離d應滿足什么條件？
（2）若粒子源到擋板的距離d=，則擋板至少多長，擋板吸收的粒子數占總粒子數的比值最大，并求該值。

Answer 1

      5:12.

試題分析：（1）當運動粒子只受洛倫茲力時，在磁場中做勻速圓周運動，題中源向各個方向發射粒子，則粒子的分布區域為以粒子源為圓心，圓周運動是直徑為半徑的圓形區域，故要是粒子不打在板上，板離粒子源的距離應大于，區域半徑。（2）根據第一問中求出的粒子做圓周運動的半徑，與粒子源到擋板距離間的關系可判斷出吸收粒子最多時擋板的長度，以及打在板上的粒子發射角度范圍，角度范圍與圓周角2π的比值即為擋板吸收的粒子數占總粒子數的比值。
（1）設帶電粒子的質量為m，電量為q，粒子在磁場中受到的洛倫茲力提供圓周運動的向心力，設圓周運動的半徑為r，有：
①（2分）
粒子能打在擋板上的臨界情形如圖a所示，所以粒子不打在擋板上，d應滿足：d>2r      ②（2分）
由①②式并代入數據可得:    （2分）

（2）在擋板左側，能打到擋板上部最遠點的粒子軌跡恰好和擋板相切，如圖b中的軌跡1所示
由①式及已知數據知粒子的軌跡半徑r=="OP"      ③（2分）

可知：PN=      ④（2分）
軌跡1是初速度方向沿OP方向的粒子軌跡
設粒子初速度方向與OP成θ角，如圖b所示，隨著θ角從0開始增大，粒子打在擋板上的點從N點逐漸下移，當粒子剛好通過P點時，粒子開始打在擋板的右側，設此時打在擋板上的點為M，如圖b中軌跡2，在△OPM中，由幾何關系可知：
PM= ⑤（1分）
由③⑤得PM=      （1分）
當θ角繼續增大，粒子打在擋板上的點從M點逐漸下移至P點，設此時如圖b中軌跡3，由幾何關系可知此時
θ=    ⑥（2分）
由以上分析可知，擋板長度至少等于，擋板吸收的粒子數與總粒子數比值最大（2分），
擋板吸收的粒子數與總粒子數最大比值η=        ⑦（1分）
由⑥⑦式可得最大比值η=5:12.  （2分）