Question

17世紀初，開普勒提出的行星運動定律指出了行星運動的規律后，人們迫切想了解這一規律的本質，之后很多的學者提出各種觀點，最終由牛頓的萬用引力定律揭開了天體運動的神秘面紗．牛頓首先從太陽對行星的引力出發，憑借其運動三定律猜測行星之所以圍繞太陽運轉是因為其受到了太陽的引力，并導出了引力公式．牛頓的思想進一步解放，指出這一引力與使月球圍繞地球運動的力、使蘋果落地的力應遵循相同的規律，并給出了著名的“月-地檢驗”，為萬有引力定律的得出提供了強有力的依據．“月-地檢驗”的基本思路可設置為以下兩個問題，已知地球半徑為6400km，月地距離約為地球半徑的60倍，請再結合下面給出的已知量計算：（結果均保留三位有效數字）
①已知月球的公轉周期為27.3天，據此求月球的向心加速度？
②已知地球表面的重力加速度為9.8m/s²，試據此求月球的向心加速度？

Answer 1

分析：①月球的公轉周期為T=27.3天，軌道半徑r等于月地距離，月球繞地球做勻速圓周運動，由a_n=

4π2r

T2

求出月球的向心加速度；
②月球的向心加速度等于月球軌道處的重力加速度，由重力近似等于地球的萬有引力，得到月球軌道處的重力加速度與地球表面的重力加速度關系，即可求出月球的向心加速度．

解答：解：①由題，月球的公轉周期為T=27.3天=27.3×24×3600s≈2.36×10⁶s，軌道半徑r=60×6400×10³=3.84×10⁸m，則
月球的向心加速度為a_n=

4π2r

T2

供稿解得，a_n=0.00272m?s^-2．
②，設地球的質量為M，物體的質量為m，物體與地球的距離為r，根據重力近似等于萬有引力得
mg=G

GMm

r2

，得g=

GM

r2

設地球表面的重力加速度為g₀，地球的半徑為R，月球軌道處的重力加速度為g，則
 

g

g0

=

R2

r2

得 g=

R2

r2

g0=

1

3600

×9.8m/s2=0.00272 m?s^-2．
故月球的向心加速度為0.00272 m?s^-2．
答：①已知月球的公轉周期為27.3天，據此得到的月球的向心加速度為0.00272 m?s^-2．
②已知地球表面的重力加速度為9.8m/s²，據此求出月球的向心加速度為0.00272 m?s^-2．

點評：本題考查對牛頓“月-地檢驗”基本思路的理解，分別圓周運動向心加速度公式和萬有引力定律兩種方式求解．