Question

如圖，在0≤x≤

3

a區(qū)域內(nèi)存在與xy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．在t=0時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內(nèi)．已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t=t₀時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上P(

3

a，a)點(diǎn)離開磁場(chǎng)．求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷；
（2）此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；
（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間．

Answer 1

（1）初速度與y軸方向平行的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1中的弧OP所示，其圓心為C．由題給條件可以得出
∠OCP=

2π

3

   ①
此粒子飛出磁場(chǎng)所用的時(shí)間為
t₀=

T

3

②
式中T為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期．
設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)速度的大小為v，半徑為R，由幾何關(guān)系可得
R=

2 3

3

a   ③
由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有
qvB=m

v2

R

  ④
T=

2πR

v

   ⑤
聯(lián)立②③④⑤解得

q

m

=

2π

3Bt0

⑥


（2）仍在磁場(chǎng)中的粒子其圓心角一定大于120°，這樣粒子角度最小時(shí)從磁場(chǎng)右邊界穿出；角度最大時(shí)從磁場(chǎng)左邊界穿出．依題意，同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子到O點(diǎn)距離相同．在t₀時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以O(shè)點(diǎn)為圓心、OP為半徑的弧

MN

上．如圖所示．
設(shè)此時(shí)位于P、M、N三點(diǎn)的粒子的初速度分別為v_P、v_M、v_N．由對(duì)稱性可知v_P與OP、v_M與OM、v_N與ON的夾角均為

π

3

．
設(shè)v_M、v_N與y軸正向的夾角分別為θ_M、θ_N，由幾何關(guān)系有θM=

π

3

⑦θN=

2π

3

⑧
對(duì)于所有此時(shí)仍在磁場(chǎng)中的粒子，其初速度與y軸正方向所成的夾角θ應(yīng)滿足

π

3

≤θ≤

2π

3

（3）在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與磁場(chǎng)右邊界相切，其軌跡如圖2所示．由幾何關(guān)系可知：
OM=OP
由對(duì)稱性可知
ME=OP
由圖可知，圓的圓心角為240°，從粒子發(fā)射到全部粒子飛出磁場(chǎng)所用的時(shí)間2t₀；