Question

在電視節目中我們常常能看到一種精彩的水上運動——滑水板，如圖5-12所示.運動員在快艇的水平牽引力作用下，腳踏傾斜滑板在水上勻速滑行，設滑板是光滑的.若運動員與滑板的總質量為m=70 kg，滑板的總面積為S=0.12 m²，水的密度為ρ=1.0×10³ kg/m³.理論研究表明：當滑板與水平方向的夾角（板前端抬起的角度）為θ時，水對板的作用力大小為N＝ρSv²sin²θ，方向垂直于板面.式中v為快艇的牽引速度，S為滑板的滑水面積，求為了使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度.

圖5-12

Answer 1

思路解析：從電視節目中可以看到，滑水運動員在快艇牽引下的滑行過程中，經常變換姿勢，其實既是為使運動具有觀賞性，也是出于平衡的需要.滑板與水平方向間的夾角θ與快艇的牽引速度v等都是互相聯系的.要解決“快艇牽引滑板的最小速度”問題，首先需要弄清S、v、θ等物理量之間的相互關系.為此，選取滑板與運動員作為研究對象，對其作受力分析，滑板與運動員共受到三個力的作用：重力G、水對滑板的彈力N（方向與滑板板面垂直）及繩子對運動員的拉力F.為使問題簡化，作為理想化處理，可不計水對滑板的阻力，受力圖如圖所示.由物體的平衡條件可得Ncosθ－mg=0.又由題中給出的理論模型N=ρSv²sin²θ

可得牽引速度為v=

即在運動員與滑板的質量一定、滑板的總面積S一定時，維持滑板平衡所需的牽引速度大小僅由滑板與水平方向的夾角θ決定.或者說，快艇對運動員與滑板的牽引速度v是滑板傾角θ的函數.當θ取某一值時，牽引速度有最小值.下面我們就用求函數極值的方法來求解最小速度問題.

令k=sin²θcosθ，則有k²=sin²θsin²θ（2cos²θ）.

由數學中的基本不等式abc≤（）³

可得k²≤()³=×()³，當且僅當2cos²θ=sin²θ，

即θ=arctan=54.7°時，k有最大值，即k_max=