Question

隨著現代科學技術的飛速發展，廣寒宮中的嫦娥將不再寂寞，古老的月球即將留下中華兒女的足跡．航天飛機作為能往返于地球與太空，可以重復使用的太空飛行器，倍受人們的喜愛．宇航員現欲乘航天飛機對在距月球表面h高的圓軌道上運行的月球衛星進行維修．試根據你所學的知識回答下列問題：
（1）試求維修衛星時航天飛機的速度．
（2）已知地球自轉周期為T₀，則該衛星每天可繞月球轉幾圈？已知月球半徑R，月球表重力加速度為g_m，計算過程中可不計地球引力的影響，計算結果用h、R、g_m、T₀等表示．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

和萬有引力等于重力G

Mm

R2

=mg，求出航天飛機的速度．
（2）根據萬有引力提供向心力求出衛星的周期，從而求出衛星每天繞月球運轉的圈數．

解答：解：（1）根據萬有引力定律，在月球上的物體mgm=

GmM月

R2

①
衛星繞月球作圓周運動，設速度為v，則G

Mm

(R+h)2

=m

v2

(R+h)

②
①②式聯立解得：v=

gmR2 (R+h)

（2）設衛星運動周期為T，則G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
解得：T=2π

(R+h)3 GM

=2π

(R+h)3 gmR2

則每天繞月球運轉的圈數為

T0

T

=

T0

2π

gmR2 (R+h)3

答：（1）維修衛星時航天飛機的速度為

gmR2 (R+h)

．
（2）已知地球自轉周期為T₀，則該衛星每天可繞月球轉的圈數為

T0

2π

gmR2 (R+h)3

．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

和萬有引力等于重力G

Mm

R2

=mg．