Question

某星際探測是現代航天科技發展的重要課題．如圖所示，某探測器從空間的O點沿直線ON從靜止開始以加速度a作勻加速直線運動，二個月后與地球相遇于P點，再經二個月與地球相遇于Q點，已知萬有引力常量G，地球公轉周期為T，且探測器的運動不受地球的影響，求太陽的質量？

Answer 1

分析：地球繞太陽做勻速圓周運動，由太陽的萬有引力提供向心力，根據萬有引力定律和向心力公式列式得到地球的公轉周期與半徑的關系式；
對于探測衛星從靜止開始以加速度a作勻加速直線運動，根據運動學公式可求得PQ間的距離與地球公式周期的關系．由幾何知識得到：PQ對應的圓心角，得到地球公轉半徑與PQ的關系，即可聯立求得太陽的質量．

解答：解：對地球：由太陽的萬有引力提供向心力，則有：

GMm

r2

=m(

2π

T

)2r  ①
得：M=

4π2r3

GT2

  ②
對探測衛星從靜止開始以加速度a作勻加速直線運動，則有
    PQ=OQ-OP=

1

2

a(

T

3

)2-

1

2

a(

T

6

)2=

1

24

aT2  ③
二個月為

1

6

T，則PQ所對的圓心角為：θ=60° ④
  由幾何關系得：r=PQ
代入上式得：M=

π2a3T4

3456G

答：太陽的質量為

π2a3T4

3456G

．

點評：本題是萬有引力與勻變速運動的綜合，關鍵找出地球與探測器之間的時間關系，運用幾何知識得到PQ與r的關系．