Question

【題目】如圖所示，軌道倪a、b、c在同一豎直平面內，其中a是末端水平（可看做與D重合）的光滑圓弧軌道，b是半徑為r=2m的光滑半圓形軌道且直徑DF沿豎直方向，水平軌道c上靜止放置著相距l=1.0m的物塊B和C，B位于F處，現將滑塊A從軌道a以上距D點高為H的位置由靜止釋放，滑塊A經D處水平進入軌道b后能沿軌道（內軌）運動，到達F處與物塊B正碰，碰后A、B粘在一起向右滑動，并再與C發生正碰．已知A、B、C質量分別為m、m、km，均可看做質點，物塊與軌道C的動摩擦因數μ=0.45．（設碰撞時間很短，g取10m/s2）

（1）求H的最小值和H取最小值時，AB整體與C碰撞前瞬間的速度；
（2）若在滿足（1）的條件下，碰后瞬間C的速度=2.0m/s，請根據AB整體與C的碰撞過程分析k的取值，并討論與C碰撞后AB的可能運動方向．

Answer 1

【答案】
（1）解：滑塊A從軌道a下滑到達D點的過程中，由機械能守恒定律得：

mgH= mvD2，

要使滑塊A能沿豎直平面內光滑半圓軌道b內側做圓周運動，在D點應滿足：

mg≤ ，

聯立并代入數據解得 H≥1m

所以H的最小值為1m．

滑塊A從a軌道上H=1m處下滑到達F點的過程，由機械能守恒定律得

mg（H+2r）=

可得，滑塊經過F點的速度 v0=10m/s

A、B碰撞過程，取向右為正方向，由動量守恒定律得

mv0=2mv1．

設AB整體與C碰撞前瞬間的速度為v2．由動能定理得

﹣μ2mgl= ﹣

聯立以上各式解得 v2=4m/s

答：H的最小值是1m，H取最小值時，AB整體與C碰撞前瞬間的速度是 m/s．

（2）若AB整體與C發生非彈性碰撞，由動量守恒定律得

2mv2=（2m+km）v

代入數據解得 k=2

此時AB整體的運動方向與C相同．

若AB整體與C發生彈性碰撞，由動量守恒定律和能量守恒定律得

2mv2=2mv3+kmv

×2mv22= ×2mv32+ kmv2

解得 v3= v2，v= v2

代入數據解得 k=6

此時AB整體的運動方向與C相反．

若AB整體與C發生碰撞后AB整體速度為0，由動量守恒定律得

2mv2=kmv

解得 k=4

綜上所述，當2≤k＜4時，AB整體的運動方向與C相同．

當k=4時，AB整體的速度為0．

當4＜k≤6時，AB整體的運動方向與C相反．

答：當2≤k＜4時，AB整體的運動方向與C相同．當k=4時，AB整體的速度為0．當4＜k≤6時，AB整體的運動方向與C相反．

【解析】（1）滑塊在最高點時，重力提供向心力。滑塊下滑過程中滿足機械能守恒，求出高度的最小值。碰撞過程中滿足動量守恒，根據動量守恒和動能定理，列式求解。
（2）碰撞過程中有動能向其他形式能轉化，是非彈性碰撞。根據動量守恒和機械能守恒，聯合列式求解。