Question

資料：理論分析表明，逃逸速度是環繞速度的

2

倍，即v′=

2GM R

，由此可知，天體的質量M越大，半徑R越小，逃逸速度也就越大，也就是說，其表面的物體就越不容易脫離它的束縛，有些恒星，在它一生的最后階段，強大的引力把其中的物質緊緊的壓在一起，密度極大，每立方米的質量可達數千噸，它們的質量非常大，半徑又非常小，其逃逸速度非常大．于是，我們自然要想，會不會有這樣的天體，它的質量更大，半徑更小，逃逸速度更大，以3.00×10⁸m/s的速度傳播的光都不能逃逸？如果宇宙中真的存在這樣的天體，即使它確實在發光，光也不能進入太空，我們根本看不到它，這種天體稱為黑洞．1970年，科學家發現了第一個很可能是黑洞的目標．已知，G=6.67×10-11N?m/kg 2，C=3.00×10⁸m/s，求：
（1）逃逸速度大于真空中光速的天體叫黑洞，設某黑洞的質量等于太陽的質量M=1.98×10³⁰kg，求它的可能最大半徑（此小題結果用科學計數法表示，小數點后保留2位，不得使用計算器）
（2）在目前天文觀測范圍內，物質的平均密度為ρ，如果認為我們宇宙是這樣一個均勻大球體，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度C，因此任何物體都不能脫離宇宙，問宇宙的半徑至少多大？（球的體積計算方程V=

4

3

πR3，此小題結果用題中所給字母表示）

Answer 1

分析：（1）任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應大于光速，根據c≤

2GM R

即可求解；
（2）根據質量與密度的關系先求出質量，根據（1）的分析即可求解．

解答：解：（1）由題目所提供的信息可知，任何天體均存在其所對應的逃逸速度v₂=

2GM R

，
其中M、R為天體的質量和半徑．
對于黑洞模型來說，其逃逸速度等于真空中的光速，
即v₂=c，
所以?R=

2GM

c2

=

2×6.67×10-11×1.98×1030

(3×108)2

m=2.93×10³ m．
故最大半徑為2.93×10³ m．
（2）M=ρ?

4

3

πR³，其中R為宇宙的半徑，ρ為宇宙的密度，
則宇宙所對應的逃逸速度為v₂=

2GM R

，
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，
即v₂=c，
則R=

3c2 8Gπρ

答：（1）它的可能最大半徑為2.93×10³m．
（2）宇宙的半徑至少應為

3c2 8Gπρ

．

點評：本題考查了萬有引力定律定律及圓周運動向心力公式的直接應用，要注意任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應大于光速．