Question

【題目】如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內有一原長為R、下端固定的輕質彈簧．投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0．5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設質量為m的魚餌到達管口C時，對管壁的作用力恰好為零．不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g．求：

（1）質量為m的魚餌到達管口C時的速度大小v1；

（2）彈簧壓縮到0．5R時的彈性勢能Ep；

（3）已知地面與水面相距1．5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90°角的范圍內來回緩慢轉動，每次彈射時只放置一粒魚餌，魚餌的質量在到m之間變化，且均能落到水面．持續投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）Ep=3mgR （3）

【解析】試題分析：（1）質量為m的魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力，完全由重力提供，則

可以解得：

（2）從彈簧釋放到最高點C的過程中，彈簧的彈性勢能全部轉化為魚餌的機械能，由系統的機械能守恒定律有:

即：

得：

故彈簧彈性勢能為Ep=3mgR

（3）不考慮因緩慢轉動裝置對魚餌速度大小的影響，質量為m的魚餌離開管口C后做平拋運動，設經過t時間落到水面上，得：

離OO'的水平距離為x1，魚餌的質量為m時：

魚餌的質量為時，由動能定理：

整理得：

同理：

魚餌能夠落到水面的最大面積s是：