Question

兩行星A和B是兩個均勻球體，行星A的衛星a沿圓軌道運行的周期T_a；行星B的衛星b沿圓軌道運行的周期為T_b．設兩衛星均為各中心星體的近表衛星，而且T_a：T_b=1：4，行星A和行星B的半徑之比R_A：R_B=1：2，則行星A和行星B的密度之比ρ_A：ρ_B=______，行星表面的重力加速度之比g_A：g_B=______．

Answer 1

人造地球衛星的萬有引力充當向心力，即：
G

Mm

R2

=mR

4π2

T2

①
體積為：
V=

4πR3

3

②
解得密度為：
ρ=

M

V

=

3π

GT2

故AB密度之比為：
ρA：ρB=12：42=1：16
忽略行星自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式：
G

Mm

R2

=mg③
由①③解得：
g=

4π2R

T2

所以兩行星表面處重力加速度之比為：
gA：gB=

1

12

：

2

42

=8：1
故答案為：16：1；8：1