Question

如圖所示，在直角坐標系 xoy 的第一象限內存在沿 y 軸負方向、場強為 E 的勻強電場，在第四象限內存在垂直紙面向外、磁感應強度為 B 的勻強磁場，在磁場與電場分界線的 x 軸上有一無限大的薄隔離層．一質量為 m、電量為+q、初速度為零的帶電粒子，從坐標為（ x ₀，y ₀）的 P 點開始被電場加速，經隔離層垂直進入磁場，粒子每次穿越隔離層的時間極短，且運動方向不變，其穿越后的速度是每次穿越前速度的 k 倍（ k＜1）．不計帶電粒子所受重力．求：
（1）帶電粒子第一次穿越隔離層進入磁場做圓周運動的半徑 R ₁；
（2）帶電粒子第二次穿越隔離層進入電場達到最高點的縱坐標  y₁；
（3）從開始到第三次穿越隔離層所用的總時間  t；
（4）若帶電粒子第四次穿越隔離層時剛好到達坐標原點 O，則 P 點橫坐標 x₀與縱坐標 y₀應滿足的關系．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出粒子第一次到達隔離層時的速度，從而得出第一次穿越隔離層的速度，根據洛倫茲力提供向心力求出帶電粒子第一次穿越隔離層進入磁場做圓周運動的半徑．
（2）穿越后的速度是每次穿越前速度的 k 倍．得知第二次穿越隔離層的速度，根據動能定理求出帶電粒子第二次穿越隔離層進入電場達到最高點的縱坐標．
（3）從開始到第三次穿越隔離層過程中，在磁場中運動半個圓周，根據周期公式求出在磁場中運動的時間，在電場中做勻變速直線運動，根據位移時間公式求出在電場中運動的時間，從而求出總時間．
（4）分別求出第一次穿越隔離層和第三次穿過隔離層后在磁場中運動的軌道半徑，抓住x₀=2R₁+2R₂求出 P 點橫坐標 x₀與縱坐標 y₀應滿足的關系．

解答：解：（1）第一次到達隔離層時速度為v₀
qEy_o=

1

2

mv_o²，v₀=

2qEy0 m

第一次穿越隔離層后速度為v₁=k

2qEy0 m

由qv₁B=m

v12

R1

，得第一次在磁場中做圓周運動半徑為 R₁=

mv1

qB

=

2k2mEy0 qB2

（2）第二次穿越隔離層后速度為v₂=k²

2qEy0 m

-qEy₁=0-

1

2

mv₂²，得y₁=k⁴y₀
（3）由y_o=

1

2

qE

m

t₀²，得第一次到達隔離層的時間為 t₀=

2my0 qE

圓周運動的周期T=

2πm

qB

第一次在磁場中做圓周運動時間為 t₁=

T

2

=

πm

qB

第二次穿越隔離層后到達最高點時間為 t₂=

v2

a

=k ²

2my0 qE

從開始到第三次穿越隔離層所用總時間
t=t₀+t₁+2t₂=（1+2 k²）

2y0m qE

+

πm

qB

（4）第三次穿越隔離層后的速度為v ₃=k ³

2qEy0 m

第二次在磁場中做圓周運動半徑為R₂=

2k6mEy0 qB2

x₀=2R₁+2R₂=（ 2 k+2 k ³）

2mEy0 qB2

答：（1）帶電粒子第一次穿越隔離層進入磁場做圓周運動的半徑為

2k2mEy0 qB2

．
（2）帶電粒子第二次穿越隔離層進入電場達到最高點的縱坐標y₁=k⁴y₀
（3）從開始到第三次穿越隔離層所用的總時間為（1+2 k²）

2y0m qE

+

πm

qB

．
（4）P 點橫坐標 x₀與縱坐標 y₀應滿足的關系為：x₀=（ 2 k+2 k ³）

2mEy0 qB2

．

點評：本題考查帶電粒子在電場和磁場中的運動，關鍵知道粒子在磁場中做勻速圓周運動，在電場中做勻變速直線運動，運用牛頓第二定律結合運動學公式進行求解．