Question

如圖所示，一玩滾軸溜冰的小孩（可視作質點）質量為30kg，他在左側平臺上滑行一段距離后平拋，恰能無碰撞地從A進入光滑豎直圓弧軌道并沿軌道下滑，A、B為圓弧兩端點，其連線水平．已知圓弧半徑為R=1.0m，對應圓心角為θ=106°，平臺與AB連線的高度差為h=0.8m．（計算中取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，不計空氣阻力）．求：
（1）小孩平拋的初速度
（2）小孩運動到達圓弧軌道最低點O時的動能
（3）小孩運動到達圓弧軌道最低點O時對軌道的壓力．

Answer 1

分析：（1）小孩無碰撞進入圓弧軌道，則小孩落到A點的速度方向沿A點的切線方向，根據平拋運動的高度求出運動的時間，從而得知豎直方向上的分速度，對A點速度進行分解，運用平行四邊形定則求出小孩的初速度．
（2）根據機械能守恒定律求出小孩運動到最低點時的動能即可；
（3）據機械能守恒定律求出小孩運動到最低點時的速度，結合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出小孩在最低點對軌道的壓力．

解答：解：（1）由于小孩無碰撞進入圓弧軌道，則小孩落到A點的速度方向沿A點的切線方向，則：
tanα=

vy

vx

=

gt

v0

=tan53°
又h=

1

2

gt2
解得；t=0.4s
而v_y=gt=4m/s，解得v₀=3m/s．
（2）設小孩到達最低點的速度為v，由機械能守恒定律有：

1

2

mv2-

1

2

mv02=mg[h+R（1-cos53°）]
解得：

1

2

mv2=495J
（3）在最低點，根據牛頓第二定律，有
FN-mg=m

v2

R

解得：F_N=1290N．
由牛頓第三定律可知，小孩對軌道的壓力為1290N．
答：（1）小孩平拋運動的初速度為3m/s．
（2）小孩運動到達圓弧軌道最低點O時的動能為495J
（3）小孩運動到圓弧軌道最低點O時對軌道的壓力為1290N．

點評：本題考查了平拋運動、圓周運動的綜合，運用了機械能守恒定律、牛頓第二定律以及運動的合成等知識，綜合性較強，是一道好題．