Question

如圖甲所示，間距為L、足夠長的固定光滑平行金屬導軌MN、PQ 與水平面成θ角，左端M、P之間連接有電流傳感器和阻值為R 的定值電阻．導軌上垂直停放一質量為m、電阻為r的金屬桿ab，且與導軌接觸良好，整個裝置處于磁感應強度方向垂直導軌平面向下、大小為B 的勻強磁場中．在t=0時刻，用一沿MN方向的力斜向上拉金屬桿ab，使之從磁場的左邊界由靜止開始斜向上做直線運動，電流傳感器將通過R 的電流i即時采集并輸入電腦，可獲得電流i隨時間t變化的關系圖線，電流傳感器和導軌的電阻及空氣阻力均忽略不計，重力加速度大小為g．
（1）若電流i 隨時間t 變化的關系如圖乙所示，求t時刻桿ab 的速度υ大小；
（2）在（1）問的情況下，請判斷桿ab的運動性質，并求t 時刻斜向上拉力的功率P；
（3）若電流i隨時間t 變化規律為i=I_msin

2π

T

t，則在0～1/2T時間內斜向上拉力對桿ab做的功W．

Answer 1

分析：（1）由乙圖看出，i與t成正比，由數學知識可寫出i與t的關系式，由e=BLv和閉合電路歐姆定律求出t時刻桿ab的速度v；
（2）根據速度-時間關系式，分析桿ab的運動性質，由速度公式求出桿的加速度大小．桿向上運動的過程中，由牛頓第二定律列式拉力的功率P的大小．
（3）由位移為 x=-Acos

2π

T

，對位移求導數得到速度的表達式，分析得出桿ab做簡諧運動，求電流的有效值，根據焦耳定律求解整個回路產生的熱量，再根據功能關系和動能定理求解拉力對桿ab做的功W．

解答：解：（1）由乙圖可知，t=t₁時刻電路中的感應電流為I₁，則t時刻，電流為：i=

I1

t1

t…①
桿ab切割磁感線產生的感應電動勢為：e=BLv…②
根據閉合電路歐姆定律有：e=i（R+r）…③
由①②③式解得：v=

I1(R+r)

BLt1

t…④
（2）由于

I1(R+r)

BLt1

是常量，所以桿ab做勻加速直線運動，其加速度大小為：a=

v

t

=

I1(R+r)

BLt1

…⑤
設t時刻拉力大小為F，根據牛頓第二定律有：F-BiL-mgsinθ=ma…⑥
又 P=Fv…⑦
得：P=

I 2 1 (R+r)

t 2 1

t2+[gsinθ+

I1(R+r)

BLt1

]

mI1(R+r)

BLt1

t…⑧
（3）設位移x=-Acos

2π

T

t，由導數的物理意義可知，有：v=A?

2π

T

sin

2π

T

t…⑨
由BLv=i（R+r）及i=I_msin

2π

T

t得：v=

Im(R+r)

BL

sin

2π

T

t…⑩
可見，桿ab做簡諧運動，所以振幅為：A=

Im(R+r)T

2πBL

…（11）
在0～

1

2

T時間內，整個回路產生的焦耳熱為：
Q=（

Im

2

）²（R+r）?

1

2

T…（12）
安陪力對桿ab做的功為：W₂=-Q…（13）
根據動能定理有：W+W₁+W₂=

1

2

mv2-0…（14）
聯立以上四式得：W=

mgIm(R+r)Tsinθ

πBL

+

1

4

I

2 m

(R+r)T…（15）
答：（1）若電流i 隨時間t 變化的關系如圖乙所示，t時刻桿ab 的速度υ大小為

I1(R+r)

BLt1

t；
（2）在（1）問的情況下，桿ab做勻加速直線運動，t時刻斜向上拉力的功率P為

I 2 1 (R+r)

t 2 1

t2+[gsinθ+

I1(R+r)

BLt1

]

mI1(R+r)

BLt1

t；
（3）若電流i隨時間t 變化規律為i=I_msin

2π

T

t，則在0～1/2T時間內斜向上拉力對桿ab做的功W為

mgIm(R+r)Tsinθ

πBL

+

1

4

I

2 m

(R+r)T．

點評：本題的關鍵首先要運用數學知識寫出電流與時間的關系，還考查了牛頓運動定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應電動勢公式．