Question

【題目】電容器作為儲能器件，在生產生活中有廣泛的應用。實際中的電容器在外形結構上有多種不同的形式，但均可以用電容描述它的特性。

(1)在兩個相距很近的平行金屬板中間夾上一層絕緣物質就組成一個最簡單的電容器，叫做平行板電容器。圖1為一平行板電容器的充電電路，在充電過程中兩極板間電勢差u隨電荷量q的變化圖像如圖2所示。類比直線運動中由v—t圖像求位移的方法，在圖中畫網格線表示當電荷量由Q1增加到Q2的過程中電容器增加的電勢能；

(2)同平行板電容器一樣，一個金屬球和一個與它同心的金屬球殼也可以組成一個電容器，叫做球形電容器。如圖3所示，兩極間為真空的球形電容器，其內球半徑為R1，外球內半徑為R2，電容為，其中k為靜電力常量。請結合(1)中的方法推導該球形電容器充電后電荷量達到Q時所具有的電勢能Ep的表達式；

(3)孤立導體也能儲存電荷，也具有電容：

a.將孤立導體球看作另一極在無窮遠的球形電容器，根據球形電容器電容的表達式推導半徑為R的孤立導體球的電容的表達式；

b.將帶電金屬小球用導線與大地相連，我們就會認為小球的電荷量減小為0。請結合題目信息及所學知識解釋這一現象。

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)；(3)a.，b.見解析

【解析】

（1）如圖所示

（2）由電容的定義式可知球形電容器充電過程中兩極板間電勢差u隨電荷量q的變化圖像如下圖所示，圖中三角形面積表示電荷量達到Q時電容器所具有的電勢能Ep的大小，由圖可得

根據

可得

將球形電容器電容的表達式代入可得

（3）a. 將孤立導體球看作另一極在無窮遠的球形電容器，即，代入球形電容器電容的表達式

可得

b. 根據a中推得的孤立導體球的電容表達式

可知，球體的半徑越大，其電容越大。由于金屬小球的半徑遠小于地球半徑，所以地球的電容遠大于小球的電容。二者用導線連接，電勢相同，根據

Q=CU

可知，地球的帶電量遠大于小球的帶電量，電荷總量保持不變，所以可以認為小球的電荷量減小為0。