Question

如圖所示，傾角為θ的固定光滑斜面底部有一垂直斜面的固定檔板C．勁度系數(shù)為k₁的輕彈簧兩端分別與擋板C和質(zhì)量為m的物體B連接，勁度系數(shù)為k₂的輕彈簧兩端分別與B和質(zhì)量也為m的物體A連接，輕繩通過光滑滑輪Q與A和一輕質(zhì)小桶P相連，輕繩AQ段與斜面平行，A和B均靜止．現(xiàn)緩慢地向小桶P內(nèi)加入細砂，當(dāng)k₁彈簧對擋板的彈力恰好為零時，求：
（1）小桶P內(nèi)所加入的細砂質(zhì)量；
（2）小桶下降的距離．

Answer 1

分析：未向小桶內(nèi)加入細沙時，彈簧k₁受到的壓力大小等于A的重力沿斜面向下的分力，根據(jù)胡克定律求出此時該彈簧的壓縮量．當(dāng)B與擋板C間擠壓力恰好為零時，彈簧k₁受到的拉力等于B重力沿斜面向下的分力，彈簧k₂受到的拉力等于兩個物體的總重力沿斜面向下的分力，根據(jù)胡克定律求出此時兩彈簧的伸長量，再由幾何關(guān)系求出小桶下降的距離．

解答：解：（1）當(dāng)B與擋板C間擠壓力恰好為零時，以A、B兩個物體整體為研究對象，根據(jù)平衡條件得知，輕繩的拉力大小為T=2mgsinθ，
對小桶：T=m_砂g，故小桶P內(nèi)加入的細砂質(zhì)量為m_砂=2msinθ； 
（2）未向小桶內(nèi)加入細沙時，彈簧k₁的壓縮量為x₁=

mgsinθ

k1

彈簧k₁處于原長狀態(tài)；緩慢地向小桶P內(nèi)加入細砂，當(dāng)B與擋板C間擠壓力恰好為零時，彈簧k₁的伸長量為x₁′=

mgsinθ

k1

彈簧k₂的伸長量為x₂′=

2mgsinθ

k2

根據(jù)幾何關(guān)系得知，小桶下降的距離為 S=x₁+x₁′+x₂′=

2mgsinθ

k1

+

2mgsinθ

k2

=

2mgsinθ (k1+k2)

k1k2

答：（1）小桶P內(nèi)所加入的細砂質(zhì)量2mgsinθ；
（2）小桶下降的距離離為為

2mgsinθ (k1+k2)

k1k2

．

點評：對于彈簧問題，要分析初、末兩個狀態(tài)彈簧的變形量，再由幾何關(guān)系求解小桶下降的距離，是經(jīng)常采用的思路．