Question

【題目】如圖所示，兩平行且無限長光滑金屬導軌MN、PQ與水平面的夾角為θ＝37°，兩導軌之間相距為L＝1m，兩導軌M、P間接入電阻R＝1Ω，導軌電阻不計。在abdc區域內有一個方向垂直于兩導軌平面向下的勻強磁場Ⅰ，磁感應強度為B1＝2T，磁場的寬度x1＝3m，在cd連線以下的區域有一個方向也垂直于兩導軌平面向下的勻強磁場Ⅱ，磁感應強度為B2＝1T。一個質量為m＝1kg的金屬棒垂直放在金屬導軌上，與導軌接觸良好，金屬棒的電阻r＝1Ω。若將金屬棒在離ab連線上端x0處自由釋放，則金屬棒進入磁場Ⅰ恰好做勻速直線運動。金屬棒進入磁場Ⅱ后，經過ef時剛好達到平衡狀態，cd與ef之間的距離x2＝9m。重力加速度g取10m/s2，sin37=0.6，求金屬棒：

（1）在磁場Ⅰ區域內速度v1的大小；

（2）從開始運動到在磁場Ⅱ中達到平衡狀態這一過程中整個電路產生的熱量；

（3）從開始運動到在磁場Ⅱ中達到平衡狀態所經過的時間。

Answer 1

【答案】（1）3m/s；（2）4.5J；（3）3.75s

【解析】

（1）金屬棒進入磁場Ⅰ區域勻速運動，由平衡條件和電磁感應規律得

I＝

mgsin37°＝B1IL

解得

v1＝3m/s

（2）金屬棒在未進入磁場前做初速度為零的勻加速直線運動，知

mgsin37°＝ma

得

a＝6m/s2

2ax0＝v12

得

x0＝0.75m

金屬棒在通過磁場Ⅱ區域達到穩定狀態時，重力沿斜軌道向下的分力與安培力相等

I′＝

mgsin37°＝B2I′L

解得

v2＝12m/s

金屬棒從開始運動到在磁場Ⅱ區域中達到穩定狀態過程中，根據動能定理，有

mg(x0＋x1＋x2)sin37°＋W安＝mv22－0

電路在此過程中產生的熱量

Q＝－W安＝4.5J

（3）由運動學規律得

先勻加速

v1＝at1

t1＝0.5s

之后勻速

x1＝v1t2

t2＝1s

最后，金屬棒在磁場Ⅱ中達到穩定狀態前的過程中取任意微小過程，設這一微小過程的時間為Δti，速度為vi，速度的變化量為Δvi，金屬棒從進入磁場Ⅱ到在磁場Ⅱ中達到穩定狀態的過程中，有

mgsin37°∑Δti－＝m∑Δvi

mgsin37°t3－＝m(v2－v1)

解得

t3＝2.25s

所以

t＝t1＋t2＋t3＝0.5+1+2.25s=3.75s