Question

如圖所示，一個半徑為R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O點為其球心，碗的內(nèi)表面及碗口是光滑的．一根輕質(zhì)細線跨在碗口上，線的兩端分別系有小球A和B，當它們處于平衡狀態(tài)時，小球A與O點的連線與水平線的夾角為60°．
（1）求小球A與小球B的質(zhì)量比m_A：m_B；
（2）現(xiàn)將A球質(zhì)量改為2m、B球質(zhì)量改為m，且開始時A球位于碗口C點，由靜止沿碗下滑，當A球滑到碗底時，求兩球總的重力勢能改變量；
（3）在（2）條件下，當A球滑到碗底時，求B球的速度大小．

Answer 1

（1）設(shè)繩的張力為T．對A球進行受力分析，有
Nsin60°+Tsin60°=m_Ag
Ncos60°=Tcos60°
對B球進行受力分析，有T=m_Bg
可解得：mA：mB=

3

：1
（2）A球的重力勢能改變量為△E_pA=-m_AgR=-2mgR
B兩球的重力勢能改變量為△EpB=mBg?

2

R=

2

mgR
所以A、B兩球總的重力勢能改變量為△Ep=△EpA+△EpB=-(2-

2

)mgR
負號表示兩球的重力勢能減少．
（3）當A球滑到碗底時，設(shè)A、B兩球的速度分別為v_A、v_B，則v_Acos45°=v_B（1）
根據(jù)A、B兩球總機械能守恒，有△E_K+△E_p=0（2）
即

1

2

mAvA2+

1

2

mBvB2-(2-

2

)mgR=0（3）
聯(lián)立以上三式，解得：vB=

2(2- 2 ) 5 gR

（或

0.23gR

或0.48

gR

）
答：（1）小球A與小球B的質(zhì)量比mA：mB=

3

：1；
（2）現(xiàn)將A球質(zhì)量改為2m、B球質(zhì)量改為m，且開始時A球位于碗口C點，由靜止沿碗下滑，當A球滑到碗底時，兩球總的重力勢能減小量是(2-

2

)mgR；
（3）在（2）條件下，當A球滑到碗底時，B球的速度大小是

2(2- 2 ) 5 gR

．