Question

在光滑絕緣的水平面上方，有一足夠大的空間，此空間同時存在電場強度為E、方向水平向右的勻強電場和磁感應強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場．在水平面上沿電場線方向放有兩個靜止的小球A和B（均可看成質點），兩小球的質量均為m，A球帶電荷量+q，B球不帶電，開始時兩球相距L．現釋放兩球，A球開始運動，當A、B碰撞時（碰撞時間可忽略），A、B兩球的總動能無損失，且A、B兩球間無電荷轉移．不考慮空氣阻力，求：
（1）如果 A球與B球能夠發生碰撞，從釋放兩球至兩球發生第一次碰撞需要多長時間？第一次碰撞后A、B兩球的速度各為多大？
（2）設q=2×10^-5C，E=1×10⁴N/C，m=0.1kg，B=50T，L=1cm，取g=10m/s²，各次碰撞時相鄰兩次碰撞的時間間隔分別是多少？A、B兩球最多能相碰幾次？

Answer 1

分析：（1）當兩球能夠發生第一次碰撞時，A球沒有離開水平面，沿水平方向只受電場力的作用，做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律和運動學公式列出等式，
根據動量守恒定律和能量守恒定律求解
（2）由于碰撞中動量守恒，總動能不損失，列車等式．分析每一次碰撞后的運動情況，運用運動學公式求解．

解答：解：（1）當兩球能夠發生第一次碰撞時，A球沒有離開水平面，沿水平方向只受電場力的作用，做勻加速直線運動，且滿足
a=

qE

m

，L=

1

2

at2      

v

2 A

=2

qE

m

L
聯立以上各式得：t=

2mL qE

．
 vA=

2qEL m

即經過時間t=

2mL qE

．兩球發生第一次碰撞．
A球與B球第一次碰撞時，動量守恒，則mv_A=mv′_A+mv′_B
根據題意，總能量不損失，則

1

2

m

v

2 A

=

1

2

mv′

2 A

+

1

2

mv′

2 B

聯立解得

v

/ A

=0，

v

/ B

=vA=

2qEL m

（2）設v0=vA=

2qEL m

，t0=t=

2mL qE

，a=

qE

m

代入數值求得v₀=0.2m/s    t₀=0.1s     a=2m/s²         
設每次碰撞前，A、B的速度分別為v₁、v₂，碰撞后分別為

v

/ 1

、

v

/ 2

，由于碰撞中動量守恒，總動能不損失，所以：

mv1+mv2=m v / 1 +m v / 2 1 2 mv12+ 1 2 mv22= 1 2 mv′ 2 1 + 1 2 mv′ 2 2

解得 

v

/ 1

=v2

v

/ 2

=v1
即碰撞后兩球總是交換速度．
由上一問可知，第一次碰后A球速度為0，此后作勻加速直線運動；B球作速度為v₀的勻速直線運動．
設第二次碰撞前A球速度為v_A2，所用時間為△t₂，則

1

2

a(△t2)2=v0△t2
v_A2=a△t₂
解得v_A2=2v₀
△t₂=2t₀
碰撞后，交換速度，A的速度變為v₀，B的速度變為2v₀
設第三次碰撞前A球速度為v_A3，所用時間為△t₃，則

v0△t3+ 1 2 a(△t3)2=2v0△t3 vA3=v0+a△t3

解得v_A3=3v₀
△t₃=2t₀
再次碰撞后，交換速度，A的速度變為2v₀，B的速度變為3v₀
同理可證，第一次碰撞后的過程中，A、B每次碰撞前的加速過程（即相鄰兩次碰撞的間隔），時間均相等，為
2t=0.2s    
同時可得，A球加速n次后的速度為nv₀．碰后速度為（n-1）v₀．每一次碰后至下一次碰前速度增加2v₀
設加速n次后A球剛要離開地面，則
nqv₀B=mg                              
代值解得          
n=5×10³
即最多碰5000次．
答：（1）如果A球與B球能夠發生碰撞，從釋放兩球至兩球發生第一次碰撞需要t=

2mL qE

，第一次碰撞后A、B兩球的速度各為

v

/ A

=0，

v

/ B

=vA=

2qEL m

．
（2）各次碰撞時相鄰兩次碰撞的時間間隔分別是0.1s和0.2s．A、B兩球最多能相碰5000次．

點評：本題考查的知識點較多，需要掌握動量守恒定律和能量守恒定律的應用，能運用牛頓第二定律和運動學公式求解問題．