Question

如圖所示，光滑水平軌道右端B處平滑連接著一個(gè)在豎直面內(nèi)、半徑為R的光滑半圓軌道，在距離B為x的A點(diǎn)，用水平恒力F（未知）將質(zhì)量為m的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），從靜止開始推到B處，且物塊到B處時(shí)立即撤去恒力F，物塊沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)C處后，又正好落回A點(diǎn)．已知重力加速度為g．求：
（1）水平恒力F對(duì)物塊所做的功與物塊在光滑水平軌道運(yùn)動(dòng)的位移x的關(guān)系；
（2）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)水平恒力F對(duì)物塊所做的功最少，功的最小值為多少；
（3）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)水平恒力F最小，最小的力為多大．

Answer 1

分析：（1）物塊從半圓弧軌道的最高點(diǎn)C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，得出物塊經(jīng)過C點(diǎn)的速度與x的關(guān)系．對(duì)于物塊從A到C的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)動(dòng)能定理得出恒力F對(duì)物塊所做的功C點(diǎn)的速度的關(guān)系，綜合得到F對(duì)物塊所做的功與物塊在光滑水平軌道運(yùn)動(dòng)的位移x的關(guān)系．
（2）當(dāng)物塊恰好通過最高點(diǎn)C時(shí)，經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度最小，F(xiàn)做功最小，根據(jù)牛頓第二定律求出物塊通過C點(diǎn)的速度及對(duì)應(yīng)的x值，代入（1）問結(jié)果得出最小功．
（3）將功W=Fx與（1）問中功的表達(dá)式聯(lián)立，得到F與x的關(guān)系式，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解x為何值時(shí)，F(xiàn)最小．

解答：解：（1）設(shè)物塊在C點(diǎn)的速度為v_c，物塊從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用時(shí)間為t，物塊從半圓弧軌道的最高點(diǎn)C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)落到A點(diǎn)．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
   x=v_ct，2R=

1

2

gt2               
解得：v_c=

x

2

g R

設(shè)物塊從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，水平但力F對(duì)物塊所做的功為W，對(duì)于物塊從A到C的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)動(dòng)能定理有：
W-mg?2R=

1

2

m

v

2 c

 解得：W=2mgR+

mgx2

8R

（2）物塊恰好通過最高點(diǎn)C時(shí)，在C點(diǎn)有最小速度v_min，根據(jù)牛頓第二定律有：
    mg=m

v 2 min

R

             解得：v_min=

gR

        
此時(shí)所對(duì)應(yīng)的水平恒力對(duì)物體所做的功最少，且有v_c=

x

2

g R

=

gR

解得：x=2R    
所以，當(dāng)x=2R時(shí)恒力F所做的功最少．          
將x=2R 代入第（1）問的結(jié)果中，解得最小功W=

5

2

mgR
（3）W=Fx，第（1）問討論可知：Fx=2mgR+

mgx2

8R

    解得：F=

2mgR

x

+

mgx

8R

因等式右端兩項(xiàng)之積為恒量，所以當(dāng)兩項(xiàng)相等時(shí)其和有極小值．
由=

2mgR

x

=

mgx

8R

，得x=4R 時(shí)水平恒力F最�。�                  
解得最小力F_min=mg  
答：（1）水平恒力F對(duì)物塊所做的功與物塊在光滑水平軌道運(yùn)動(dòng)的位移x的關(guān)系為W=2mgR+

mgx2

8R

；
    （2）當(dāng)x=2R時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)水平恒力F對(duì)物塊所做的功最少，功的最小值為

5

2

mgR；
    （3）當(dāng)x=4R時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)水平恒力F最小，最小的力為mg．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分析物體的運(yùn)動(dòng)過程和把握解題規(guī)律的能力，是平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理、向心力知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合，要求較高．