Question

【題目】如圖，在直角坐標系的第一、二象限存在方向沿y軸負方向的勻強電場，場強大小為E；在第三、四象限存在方向垂直于xOy平面向外的勻強磁場。質子從y軸上y = h點以一定的初速度射出，速度方向沿x軸正方向。已知質子進入磁場時，速度方向與x軸正方向的夾角為30°，并從坐標原點O處第一次射出磁場。質子的質量為m，電荷量為q。不計粒子重力。求：

(1)質子第一次進入磁場的位置到原點O的距離；

(2)磁場的磁感應強度大小；

(3)質子第一次在磁場中的運動時間。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）質子在電場中做類平拋運動，應用類平拋運動規律求出質子第一次進入磁場時到O點的距離。

（2）質子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，求出質子的軌道半徑，應用牛頓第二定律求出磁感應強度。

（3）質子在磁場中做圓周運動，由幾何關系求解旋轉的角度，根據周期公式求解時間。

（1）質子在電場中做類平拋運動，在磁場中做圓周運動，其軌跡圓的圓心設為O′點，運動軌跡如圖所示。設質子在電場中的加速度大小為a，初速度的大小為v0，它在電場中的運動時間為t1，第一次進入磁場的位置P點到原點O的距離為x。

由運動學公式有 ①

②

由題給條件，質子進入磁場時速度的方向與x軸正方向夾角θ = 30°。進入磁場時速度y分量為vy = a·t1 = v0·tanθ ③

聯立得x = ④

（2）質子在電場中運動時，由牛頓第二定律得 ⑤

設質子進入磁場時速度的大小為v，由速度合成法則有 ⑥

設磁感應強度大小為B，質子在磁場中運動的圓軌道半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得 ，即 ⑦

由幾何關系得 ⑧

聯立得 ⑨

（3）由質子在磁場中的運動軌跡圖結合幾何關系得圓心角為α = ⑩

則質子在磁場中的運動時間為

由勻速圓周運動規律結合軌跡半徑公式得

則質子第一次在磁場中的運動時間t2 =