Question

為了研究過山車的原理，物理小組提出了下面的設想：取一個與水平方向夾角為37°、長為L=2.0m的粗糙的傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個物塊以初速度v₀=4.0m/s，從某一高處水平拋出，到A點時速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道間的動摩擦因數μ=0.50．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）要使小物塊不離開軌道，并從水平軌道DE滑出，求豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？
（2）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？
（3）若按照（2）的要求，小物塊進入軌道后可以有多少次通過圓軌道上距水平軌道高為0．O1m的某一點？

Answer 1

（1）物體做平拋運動，到達A處時，令下落的高度為h，水平分速度為v_x，豎直分速度為v_y，則由平拋運動的規律可知：
tan37°=

vy

vx

，v_x=v₀，vy2=2gh
物體落在斜面上后，受到斜面的摩擦力f=μN=μmgcos37°．
設物塊進入圓軌道到最高點時有最小速度v₁，此時物塊受到的重力恰好提供向心力了，令軌道的軌道半徑為R₀．由牛頓第二定律知，
mg=m

v12

R0

物塊從拋出到圓軌道最高點的過程中，由動能定理知：mg（h+Lsin37°）-μmgcos37°?L-2mgR0=

1

2

mv12-

1

2

mv02
聯立上面各式解得R₀=0.66m．
若物塊從水平軌道DE滑出，則豎直圓軌道的半徑R₁≤0.66m．
（2）為了讓物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則物塊上升的高度須小于或等于R₀′，則根據動能定理得，
mg(h+Lsin37°)-μmgcos37°?L-mgR0′=0-

1

2

mv02
解得R₀′=1.65m．
若物塊能夠滑回傾斜軌道AB，則R₂≥1.65m．
（3）若物塊沖上圓軌道H₁=1.65m高度時速度變為0，然后又返回傾斜軌道h₁高處再滑下，然后再次進入圓軌道達到的高度為H₂，則有：
mgH1=mgh1+μmgh1?

4

3

mgH2=mgh1-μmgh1?

4

3

解得H2=

1- 4 3 μ

4

H1=

1

5

H1．
之后物塊在豎直圓軌道和傾斜軌道之間往復運動，同理，n次上升的高度Hn=(

1

5

)n-1H1（n＞0）為一等比數列．
可見當n=5時，上升的最大高度小于0.01m，則物塊共有8次通過圓軌道上距水平軌道高為0.01m的某一點．
答：（1）豎直圓軌道的半徑應該滿足R₁≤0.66m．
（2）豎直圓軌道的半徑應該滿足R₂≥1.65m．
（3）小物塊進入軌道后可以有8次通過圓軌道上距水平軌道高為0．O1m的某一點．