Question

【題目】如圖所示，豎直平面內有一半徑為r、電阻為R1、粗細均勻的光滑半圓形金屬環，在M、N處與距離為2r、電阻不計的平行光滑金屬導軌ME、NF相接，EF之間接有電阻R2，已知R1=12R，R2=4R。在MN上方及CD下方有水平方向的勻強磁場I和II，磁感應強度大小均為B。現有質量為m、電阻不計的導體棒ab，從半圓環的最高點A處由靜止下落，在下落過程中導體棒始終保持水平，與半圓形金屬環及軌道接觸良好，設平行導軌足夠長。已知導體棒下落r/2時的速度大小為v1，下落到MN處時的速度大小為v2。

（1）求導體棒ab從A處下落時的加速度大小；

（2）若導體棒ab進入磁場II后棒中電流大小始終不變，求磁場I和II這間的距離h和R2上的電功率P2；

（3）若將磁場II的CD邊界略微下移，導體棒ab進入磁場II時的速度大小為v3，要使其在外力F作用下做勻加速直線運動，加速度大小為a，求所加外力F隨時間變化的關系式。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）。

【解析】試題分析：（1）以導體棒為研究對象，棒在磁場I中切割磁感線，棒中產生感應電動勢，導體棒ab從A下落r/2時，導體棒在重力與安培力作用下做加速運動，由牛頓第二定律，得：，

式中，

且由各式可得到

（2）當導體棒ab通過磁場II時，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，即

， 式中

解得：

導體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運動，

有，得：

此時導體棒重力的功率為：

根據能量守恒定律，此時導體棒重力的功率全部轉化為電路中的電功率，即：

所以：

（3）設導體棒ab進入磁場II后經過時間t的速度大小為，

此時安培力大小為：

由于導體棒ab做勻加速直線運動，

有根據牛頓第二定律，有

即：

由以上各式解得