Question

如圖所示，A、B兩平行板水平放置，板長L=0.2m，板間有方向豎直向下的勻強電場，場強E=2×10³V/m，兩板間距d=

3

10

m．緊貼著上極板，沿水平方向射入初速度為v₀的帶正電微粒，微粒的比荷

q

m

=1×10⁶C/kg，v₀的大小可以取任意值．緊靠著極板左側的虛線MN為磁場的邊界線（M點緊靠A板最左端），MN左側有范圍足夠大的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向內，磁感應強度的大小B=0.2T．不計微粒的重力．求：
（1）帶電微粒在磁場中運動的最短時間；
（2）帶電微粒離開偏轉電場時的最小速度；
（3）帶電微粒離開磁場時距M點的最小距離．

Answer 1

分析：（1）根據帶電粒子 在磁場中運動的周期公式T=

2πm

qB

以及時間與周期之間的關系公式

t

T

=

θ

2π

可得，最短時間對應于最小的圓心角．
（2）帶電粒子在電場中做類平拋運動，將運動分解為水平方向和豎直方向，得出粒子射出電場時的速度的表達式，然后結合函數關系即可求得；
（3）帶電微粒離開磁場時距M點的最小距離是粒子在電場中的偏轉量與磁場中的偏轉量的和，得出偏轉的位移的表達式，然后結合函數關系即可求得．

解答：解：（1）最短時間對應于最小的圓心角，粒子在下極板邊沿射出時，圓心角最小．
粒子在電場中做類平拋運動，水平方向：L=v₀t
豎直方向：d=

1

2

at2
又v_y=at
設離開電場時，速度與水平方向夾角為θ，
tanθ=

vy

v0

=

at

v0

=2?

1 2 at2

v0t

=2?

d

L

=2×

3 10

0.2

=

3

所以：θ=60°
此時粒子在磁場中運動的軌跡如圖，

粒子在磁場中的偏轉角為60°，粒子在磁場中運動的時間：
tm=

60°

360°

T=

1

6

T
粒子在磁場中運動的周期：T=

2πm

qB

代入數據解得：tm=

T

6

=

π

6

×10-5s
（2）設離開電場時，速度與水平方向夾角為α，如圖：

水平方向：L=v₀t₁
豎直方向：y=

1

2

a

t

2 1

加速度：a=

qE

m

=

q

m

?E=1×106×2×103=2×109m/s2
又v_y1=at₁
所以：tanα=

vy1

v0

=2?

y

L

所以：y=0.1?tanα
根據勻變速直線運動的導出公式2as=v2-

v

2 0

得：vy=

2a?y

根據如圖的幾何關系得：v=

vy

sinα

=

0.2a?tanα

sinα

=

0.2a sinαcosα

當α=45°時，帶電微粒離開偏轉電場時的速度最小，代入數據解得：
v=2

2

×104m/s
（3）帶電粒子離開電場時，設偏轉量為y，y=0.1?tanθ
磁場中的軌道半徑R=

mv

qB

=0.1×

1 sinθcosθ

離M點的距離Y=0.1?tanθ+2Rcosθ=0.1?tanθ+0.2×

1 tanθ

求極值，當tanα=1時，Y有極小值，Y=0.3m
答：（1）帶電微粒在磁場中運動的最短時間為

π

6

×10-5s；（2）帶電微粒離開偏轉電場時的最小速度為2

2

×104m/s；（3）帶電微粒離開磁場時距M點的最小距離為0.3m．

點評：該題的第一問是常規(guī)的題目，做出運動的軌跡圖，即可得出正確的結果；第二問和第三問是題目的難點，要先根據帶電粒子在電場中和在磁場中運動的規(guī)律，推導出相應的表達式，然后根據三角函數中的極限條件才能得出正確的結論．