Question

如圖所示，在同一豎直平面內兩正對著的相同半圓光滑軌道，軌道半徑R=2m，相隔一定的距離x，虛線沿豎直方向，一質量M=0.1kg的小球能在其間運動．今在最低點B與最高點A各放一個壓力傳感器，測試小球對軌道的壓力，并通過計算機顯示出來．已知小球在最低點B的速度為v_B=20m/s，取g=10m/s²，不計空氣阻力．求：
（1）小球在最低點B對軌道的壓力．
（2）小球能沿光滑軌道運動到最高點A時，x的最大值．
（3）若半圓軌道的間距x可在零到最大值之間變化，試在圖中畫出小球對軌道B、A兩點的壓力差隨距離x變化的圖象．

Answer 1

分析：（1）小球在最低點時，受到重力和軌道的支持力作用，兩者的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出支持力，再根據牛頓第三定律得到小球在最低點B對軌道的壓力．
（2）當小球恰好到達最高點A時，x達到最大．此時由重力提供小球的向心力，由向心力公式列出A點速度表達式；小球從A到B的過程，只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律得出x的最大值．
（3）根據牛頓定律分別研究B、A兩點的壓力，得到壓力之差的表達式，再畫出圖象．

解答：解：
（1）小球在最低點時，根據牛頓第二定律得
         F_B-Mg=M

v 2 M

R

       代入解得F_B=21N 
  又根據牛頓第三定律：小球在最低點B對軌道的壓力為21N．
（2）小球恰好到達最高點A時，
     Mg=M

v 2 A

R

                  ①
小球從A到B的過程，根據機械能守恒定律得
    Mg（2R+x）+

1

2

M

v

2 A

=

1

2

M

v

2 B

  ②
聯立①②，代入解得   x=15m
（3）設小球對軌道B、A兩點的壓力大小分別為F_B、F_A．
以小球為研究對象，根據牛頓第二定律得
    A點：Mg+F_A=M

v 2 A

R

         ③
    B點：F_B-Mg=M

v 2 B

R

         ④
又Mg（2R+x）+

1

2

M

v

2 A

=

1

2

M

v

2 B

  ⑤
△F_N=F_B-F_A ⑥
聯立③④⑤⑥得
△F_N=x+6 
作圖象如圖．  
答；
（1）小球在最低點B對軌道的壓力為21N．
（2）小球能沿光滑軌道運動到最高點A時，x的最大值為15m．
（3）小球對軌道B、A兩點的壓力差隨距離x變化的圖象如圖所示．

點評：本題考查綜合運用機械能守恒定律和牛頓定律分析動力學問題的能力．圖象往往根據物理規律推導出解析式，再根據數學知識作圖．