Question

【題目】“類比法”是一種常用的研究方法。

（1）場是一種特殊物質(zhì)，電場與磁場都是客觀存在的場，可以通過用單位面積上的磁通量來描述磁場強(qiáng)弱，同理也可以用通過單位面積上的電通量來描述電場強(qiáng)弱，如圖所示，已知真空中靜止的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場中，以為球心的某一球面的電通量=（ε為某一常數(shù)）請推導(dǎo)庫侖定律中的靜電力常數(shù)的表達(dá)式：

（2）做功與路徑無關(guān)的力場叫做勢場，在這類場中可以引入勢和勢能的概念，場力做功可以度量勢能的變化，例如靜電場和引力場。設(shè)質(zhì)量為的天體周圍存在引力場，已知該天體的半徑為，引力常量為，請類比靜電場，取無窮遠(yuǎn)處的引力勢為零，寫出在距離該天體中心為處的引力勢的表達(dá)式（已知引力勢能表達(dá)式為，r>R）。

Answer 1

【答案】（1） （2）(r>R)

【解析】

(1)設(shè)球半徑為r，根據(jù)點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式可知球面上各處的電場強(qiáng)度大小為：

由于球面上各處場強(qiáng)方向斗魚球面垂直，故通過球面的電通量可表示為：

又由題設(shè)條件可知：

聯(lián)立可得：

(2)在電場中電勢與電勢能的關(guān)系為：

其中q為放入電場中的檢驗(yàn)電荷；類似的我們在質(zhì)量為M的天體周圍距離球心r處放入一個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為m，則其引力勢能為：

( r>R)

所以可得在該處的引力勢為：

( r>R)

答：(1)庫侖定律中的靜電力常數(shù)的表達(dá)式；

(2)在距離該天體中心為處的引力勢的表達(dá)式( r>R)。