Question

有一豎直放置的圓形軌道，半徑為R，由左右兩部分組成，如圖所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的，現在軌道最低點A放一個質量m的小球，并給小球一個水平向右的初速度v₀，使小球沿軌道恰好運動到最高點B，且又能沿BFA軌道回到A點，小球回到A點時軌道的壓力為4mg．
在求小球由BFA回到A點的速度v_A時，甲同學的解法是：由于回到A點時對軌道的壓力為4mg，故4mg=m

vA2

R

，得v_A=2

gR

在求小球在A點的初速度v₀時，乙同學的解法是：由于小球恰好到達B點，故小球在B點的速度為零，則有：

1

2

mv02=2mgR，得v₀=2

gR

試按以下要求作答：
（1）你認為甲、乙兩同學的解法是否正確？若不正確，請給出正確解法．
（2）在小球由B點沿BFA軌道返回A點的過程中，求小球克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：甲同學的解法錯誤，在最低點，應該是徑向的合力提供向心力，不是支持力提供向心力．乙同學的解法也錯誤，小球在內軌道運動，最高點的臨界情況是重力提供向心力，臨界速度不是零．根據動能定理求出小球由B點沿BFA軌道返回A點的過程中小球克服摩擦力做的功．

解答：解：（1）甲同學的解法不正確
正確解法：
由于小球回到A點時軌道壓力為4mg，則有：
4mg-mg=m

vA2

R

 ①
得vA=

3gR

．
乙同學的解法不正確
正確解法：
小球恰好到達B點時的速度不為零，設速度為v_B，則有：
mg=m

vB2

R

②
由機械能守恒定律得：

1

2

mv02=

1

2

mvB2+mg?2R   ③
由②③式解得：v0=

5gR

．
（2）在小球由B點沿BFA軌道返回到A點的過程中，由動能定理得：
mg?2R-W摩=

1

2

mvA2-

1

2

mvB2   ④
代入有關物理量得：
W_摩=mgR
答：（1）甲乙同學的解法都錯誤．A點的速度為

3gR

，B點的速度為

gR

．
（2）小球克服摩擦力做的功為mgR．

點評：解決本題的關鍵理清小球做圓周運動向心力的來源，知道臨界情況，結合牛頓第二定律和動能定理綜合求解．