Question

（2011?江蘇一模）如圖所示，條形區域Ⅰ和Ⅱ內分別存在方向垂直于紙面向外和向里的勻強磁場，磁感應強度B的大小均為0.3T，AA′、BB′、CC′、DD′為磁場邊界，它們相互平行，條形區域的長度足夠長，磁場寬度及BB′、CC′之間的距離d=1m．一束帶正電的某種粒子從AA′上的O點以沿與AA′成60°角、大小不同的速度射入磁場，當粒子的速度小于某一值v₀時，粒子在區域Ⅰ內的運動時間t₀=4×10^-6s；當粒子速度為v₁時，剛好垂直邊界BB′射出區域Ⅰ．取π≈3，不計粒子所受重力． 求：
（1）粒子的比荷

q

m

；
（2）速度v₀ 和v₁的大小；
（3）速度為v₁的粒子從O到DD′所用的時間．

Answer 1

分析：（1）若粒子的速度小于某一值v₀時，則粒子不能從BB^′離開區域Ⅰ，只能從AA^′邊離開區域Ⅰ，無論粒子速度大小，在區域Ⅰ中運動的時間相同，作出該粒子的軌跡圖，根據幾何關系得出圓心角的大小，再根據周期公式得出時間與周期的關系，從而得出粒子的比荷．
（2）當粒子速度為v₀時，粒子在區域I內的運動軌跡剛好與BB′邊界相切，根據幾何關系得出粒子運動的半徑，再根據粒子在勻強磁場中運動的半徑公式求出v₀ 的大小．當粒子速度為v₁時，剛好垂直邊界BB′射出區域Ⅰ．根據幾何關系得出粒子的半徑，再根據粒子在勻強磁場中運動的半徑公式求出v₁ 的大小．
（3）速度為v₁的粒子在第一個磁場區和第二個磁場區運動的時間相等，根據幾何關系求出在磁場區運動的圓心角，從而根據周期公式求出在磁場中運動的時間，粒子在無磁場區做勻速直線運動，根據運動學公式求出在無磁場區運動的時間，從而求出運動的總時間．

解答：解：（1）若粒子的速度小于某一值v₀時，則粒子不能從BB^′離開區域Ⅰ，只能從AA^′邊離開區域Ⅰ，無論粒子速度大小，在區域Ⅰ中運動的時間相同，軌跡如圖所示（圖中只畫了一個粒子的軌跡）．
粒子在區域Ⅰ內做圓周運動的圓心角為φ₁=240°，
運動時間：t0=

2

3

T
又：T=

2πm

qB

解得：

q

m

=

10

3

×106C/kg 或3.3×10⁶C/kg  
（2）當粒子速度為v₀時，粒子在區域I內的運動軌跡剛好與BB′邊界相切，此時有：
R₀+R₀sin30°=d，
又：qv0B=

mv02

R0

得：v0=

2

3

×106m/s 
當粒子速度為v₁時，剛好垂直邊界BB′射出區域Ⅰ，
此時軌跡所對圓心角φ₂=30⁰，有：R₁sinφ₂=d  
又：qv1B=

mv12

R1

得：v₁=2×10⁶m/s    
（3）區域I、Ⅱ寬度相同，
則粒子在區域I、Ⅱ中運動時間均為

t0

8

穿過中間無磁場區域的時間為：
t1=

d

v1

=5×10^-7s 
則粒子從O₁到DD′所用的時間：
t=

t0

4

+t₁=1.5×10^-6s
答：（1）粒子的比荷

q

m

為3.3×10⁶C/kg．
（2）速度v₀ 和v₁的大小分別為

2

3

×106m/s、2×10⁶m/s．
（3）速度為v₁的粒子從O到DD′所用的時間為1.5×10^-6s．

點評：解決本題的關鍵作出粒子運動的軌跡圖，通過幾何關系找出粒子運動的半徑以及圓心角的大小，掌握粒子在勻強磁場中運動的半徑公式和周期公式．