Question

【題目】在如圖所示的正方形平面oabc內存在著垂直于該平面的勻強磁場，磁感應強度的變化規律如圖所示。一個質量為m、帶電量為的粒子不計重力，在時刻平行于oc邊從o點射入磁場中。已知正方形邊長為L，規定磁場向外的方向為正，磁感應強度的最大值為求：

帶電粒子在磁場中做圓周運動的周期；

若帶電粒子不能從oa邊界射出磁場，磁感應強度B變化周期T的最大值；

要使帶電粒子從b點沿著ab方向射出磁場，滿足這一條件的磁感應強度變化的周期T及粒子磁場時的速度。

Answer 1

【答案】；； ，。

【解析】

根據洛倫茲力做向心力求解；根據幾何關系求得帶電粒子不能從oa邊界射出磁場時在時間內轉過的中心角，從而求得T和周期的關系，進而得到T的最大值；根據兩粒子運動得到帶電粒子從b點沿著ab方向射出磁場的運動軌跡，進而得到軌道半徑，由時間內轉過的中心角求得周期T；最后根據洛倫茲力做向心力由軌道半徑求得運動速度。

粒子在磁場中只受洛倫茲力作用，做勻速圓周運動，故洛倫茲力做向心力，則有：，所以，帶電粒子在磁場中做圓周運動的周期；
粒子在前半周期和后半周期的偏轉方向相反，根據時間相同可得：經過一個周期T后粒子速度回到豎直向上；
那么，根據粒子偏轉，當時，粒子一直向上運動，不可能從oa邊界射出磁場；
若，則粒子必在時從oa邊界射出磁場
當時，由幾何關系可得：當磁場第一次改變方向后的軌跡與邊界oa相切時如右圖所示，
；
，所以，，即磁場變向前運動軌跡的圓心角為；
所以，磁場每次變向的最長時間，粒子不從oa邊界射出磁場；
故，所以，T的最大值；
由可知：經過時間T后粒子運動重復，故根據幾何關系可得：粒子經過時間T后在對角線ob上；
那么，根據粒子在前半周期和后半周期的偏轉方向相反，運動時間相同可得：前后半周期的位移相同，故粒子經過后在對角線ob上；
那么，粒子運動軌跡如圖所示，

；
所以，由幾何關系可得：每次磁場改變前粒子偏轉的圓心角為，且從粒子進入到離開，磁場改變了偶數次；故有：，所以，；
設磁場一共變化了n次，則由幾何關系可得：；故軌道半徑，，；
根據洛倫茲力做向心力可得：，所以，粒子磁場時的速度；