Question

如圖甲所示，高h、長L的光滑絕緣正方形臺面上加有一豎直向下、磁感應強度B的勻強磁場．在臺面右側接著一個與內(nèi)側邊線對齊、每板寬為d（d＜

L

2

）的平行板電容器（電容器有光滑絕緣的底部），右板接電源的正極，左板接電源負極，現(xiàn)有質量為m、電量為+q的一群粒子（視為質點）從靠近右板在底部由靜止釋放，通過左板的小孔進入磁場，不計一切阻力，重力加速度取g．求：
（1）若取電容器的電壓為U，求這些帶電粒子在磁場中運動的半徑；
（2）若要求這些粒子都從臺面右側射出，則電容器的電壓應滿足什么條件？
（3）在地面上建立如圖坐標系，當U=

qB 2L 2

32m

時，在圖乙中畫出這些粒子落地時在這個坐標系中
的痕跡（要求寫出計算說明的過程并大致標明痕跡的位置）．

Answer 1

分析：（1）由動能定理可求得帶電粒子離開電容器時的速度，再由洛侖力充當向心力可求得粒子在磁場中的半徑；
（2）由幾何關系可得出最大半徑，則可求出最大電壓，分析粒子的運動可得出電壓的范圍；
（3）由已知電壓可得出粒子在磁場中的半徑，分析粒子到這位置，再根據(jù)電場中的類平拋運動規(guī)律可求得粒了偏轉的位移．

解答：解：（1）在電容器中，根據(jù)動能定理可知qU=

1

2

mv² ①
在磁場中，根據(jù)洛侖茲力充當向心力可知：
BqV=m

v2

R

  ②
聯(lián)立解得粒子的運動半徑為：R=

2mU qB2

    ③

（2）當在電容器底部外側經(jīng)加速的粒子恰好能從臺面的外側相切射出時，粒子的半徑最大，如圖所示：
即：R_m=

L-d

2

解得：U_m=

(L-d)2qB2

8m

；
當U＞0時，在電容器內(nèi)側粒子，那怕不能一次在磁場中從臺面右側射出，也可以再進入電容器減速至底部右側，又再重新加速進入磁場，多周后也能從臺面右側射出．
故電容器的電壓滿足的條件為：0＜U_m≤

(L-d)2qB2

8m

；
（3）把U=

qB2L2

32m

代入③得粒子運動半徑為R=

L

4

；
說明當粒子從電容器遠側射入磁場時，粒子從臺面右側中點射出，當粒子從電容器近側射入磁場時，粒子從臺面距中點為d處射出．
粒子從臺面右側射出后做平拋運動，設它的落地時間為t．
由h=

1

2

gt²，得t=

2h g

粒子水平位移x=vt=

qmL

4m

2h g

可作出這些粒子落地時的軌跡如下圖所示的PQ曲線；

答：（1）粒子的運動半徑為：R=

2mU qB2

；（2）電容器的電壓滿足的條件為：0＜U_m≤

(L-d)2qB2

8m

；（3）如圖中PQ．

點評：本題為帶電粒子磁場及電場中的運動問題，要注意全面掌握粒子的運動情況，明確幾何關系及運動的合成與分解在解題中的應用．