Question

（2011?洪山區模擬）我國降雨呈現南多北少的局面，有資料標明武漢市的年平均降雨量為1260mm．在下雨天我們會明顯感覺到雨點越大，雨點對雨傘的沖擊力也就越大，這一現象能否說明雨點越大，雨點落到地面的速度也就越大呢？現已知雨點下落過程受到的空氣阻力與雨點的最大橫截面積成正比，與雨點下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k為比例比例系數）．雨點接近地面時近似看作勻速直線運動，重力加速度為g．若把雨點看作球形，其半徑為r，球體的體積為

4πr3

3

，雨點的密度為ρ，求：
（1）雨點最終的運動速度v_m．（用ρ、r、g、k表示）
（2）遇到的速度達到

vm

2

時，雨點的加速度a的大小．

Answer 1

分析：（1）雨點在下落過程中受到重力和空氣阻力作用，由于雨點接近地面時看做勻速運動，受力平衡，重力等于摩擦力，由f=kSv²及球體質量為ρV=ρ

4πr3

3

，即可求解；
（2）根據瞬時速度表示出空氣阻力，有牛頓第二定律即可求解．

解答：解：（1）雨點在下落過程中受到重力和空氣阻力作用，由于雨點接近地面時看做勻速運動，所以有：
f=mg　
由題意知：f=kSv²　
S=πr²　
m=ρ?

4

3

πr³　
聯立解得：v_m=2

pgr 3k

．
（2）當雨點的速度達到

vm

2

時，空氣的阻力f′=kS（

vm

2

）²=

1

4

f　
由牛頓第二定律得：mg-f′=ma　
解得：a=

3

4

g．
答：（1）雨點最終的運動速度v_m=2

pgr 3k

（2）雨點的加速度a為

3

4

g．

點評：本題是實際問題與物理模型相結合的題目，主要考查二力平衡和牛頓第二定律的應用，難度不大，屬于基礎題．