Question

（2010?孝感一模）假設太陽系內某行星和地球的公轉軌道均為圓形，且在同一平面內，如圖所示，半徑較小的軌道是某行星公轉的軌道，半徑較大的軌道是地球公轉的軌道．在地球上觀測，發現該行星與太陽可呈現的視角（太陽與行星均看成質點，它們與眼睛連線的夾角）有最大值，并且最大視角的正弦值為

16

25

．則該行星的公轉周期為多少年？

Answer 1

分析：根據幾何關系求出星球的軌道半徑和地球的軌道半徑的關系，結合萬有引力提供向心力求出軌道半徑和周期的關系，從而得出行星的公轉周期．

解答：解：行星與太陽的最大視角出現的情況是地球上的人的視線看行星時，視線與行星的軌道相切，如圖所示．α為最大視角，由圖可知，
sinα=

r星

r地

由題意有：sinα=

16

25

所以

r星

r地

=

16

25

對于環繞太陽運行的任一行星有：

GMm

r2

=mr

4π2

T2

（式中M為太陽質量）
即

T2

r3

=

4π2

GM

所以有：

T星2

T地2

=

r星3

r地3

將上面兩星軌道半徑比值代入有：T_星=

64

125

T_地=0.512年．
答：該行星的公轉周期為0.512年．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，本題對數學能力要求較高，需加強訓練．