Question

如圖所示的豎直平面內有范圍足夠大、水平向左的勻強電場，電場強度為E．一絕緣彎桿由兩段直桿和一半徑R=1.6m的四分之一圓弧桿MN組成，固定在豎直面內，兩直桿與圓弧桿的連接點分別是M、N，豎直桿PM和水平桿NQ均足夠長，PMN段光滑．現有一質量為m₁=0.2kg、帶電荷量為+q的小環1套在PM桿上，從M點的上方的D點靜止釋放，恰好能達到N點．已知q=2×10^-2C，E=2×10²N/m．g取10m/s²．
（1）求D、M間的距離h₁=？
（2）求小環1第一次通過圓弧桿上的M點時，圓弧桿對小環作用力F的大小？
（3）在水平桿NQ上的N點套一個質量為m₂=0.6kg、不帶電的小環2，小環1和2與NQ間的動摩擦因數μ=0.1．現將小環1移至距離M點上方h₂=14.4m處由靜止釋放，兩環碰撞后，小環2在NQ上通過的最大距離是s₂=8m．兩環間無電荷轉移．環與桿之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．問經過足夠長的時間，小環1的狀態？小環1在水平桿NQ上運動通過的總路程s₁=？

Answer 1

分析：（1）應用動能定理可以求出D、M間的距離h₁；
（2）由動能定理求出到達M點時的速度，由牛頓第二定律求出圓弧桿對小環作用力．
（3）環在NQ間運動時要克服摩擦力做功，機械能減少，環最終要靜止在N處，由動能定理可以求出環的路程．

解答：解：（1）小環由D到N，由動能定理有m₁g（h₁+R）-qER=0
解得h₁=R
h₁=1.6 m 
（2）設小環由D到M點時速度為v_m，則m1gh1=

1

2

m1

υ

2 m

F-qE=m1

υ 2 m

R

解得F=qE+2m₁g
F=8N 
（3）設小環1從h₂=9R處由靜止釋放后，到達N點的速度為v₀，碰撞后小環1和2的速度分別是v₁和v₂，則m2gμs2=

1

2

m2

υ

2 2

v₂=

2gμs2

=4 m/s
m1g(h2+R)-qER=

1

2

m1

υ

2 0

υ0=

20m1gR-2qE m

=16 m/s
mv₀=m₁v₁+m₂v₂
v₁=4 m/s
小環1碰撞后向右運動，水平方向受向左的電場力和滑動摩擦力，停止后又將向左運動，回到N點速度大于零，沿豎直軌道運動，將超過D點，以后如此做往復運動，每次回到N點速度越來越小，最后等于零，將不會在水平桿NQ上運動．
小環1的最后狀態是：在D、N兩點之間做往復運動．

1

2

m1

υ

2 1

=μm1gs1
s₁=8 m
答：（1）求D、M間的距離h₁=1.6m；
（2）小環1第一次通過圓弧桿上的M點時，圓弧桿對小環作用力F的大小為4m/s；
（3）小環1在水平桿NQ上運動通過的總路程是8m．

點評：本題最后一問是本題的難點，分析清楚小環的運動過程，知道小環最終要靜止在N點是正確解題的前提與關鍵，應用動能定理即可正確解析．