Question

（2013?常德模擬）如圖所示，在xOy平面的第I象限內存在沿y軸負方向的勻強電場，電場強度大小為E；第Ⅱ象限內有半徑為R的圓分別與x軸、y軸相切于P、Q 兩點，圓內存在垂直于xOy平面向外的勻強磁場．一帶正電的粒子（重力不計）以速率v₀從P點射入磁場后恰好垂直y軸進入電場，最后從M（

3

R，0）點射出電場，出射方向與x軸正向夾角為α=60⁰，求：
（1）帶電粒子的比荷；
（2）磁感應強度的大小B；
（3）粒子從射入磁場到射出電場的時間．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直于電場進入第一象限，粒子做類平拋運動，由到達M的速度方向可利用速度的合成與分解得知該點y方向的速度．結合牛頓第二定律求得粒子的比荷；
（2）根據運動學的公式，求出粒子進入電場時的位置，畫出粒子運動的軌跡，根據圖象中的幾何關系求出粒子運動的半徑，根據半徑公式R=

mv

qB

求出磁感應強度；
（3）粒子在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，利用洛倫茲力提供向心力的公式，求出在磁場中運動的時間．利用平拋運動的規律求出粒子在電場中運動的時間．總時間是各段時間的和．

解答：解：（1）粒子垂直于電場進入第一象限，粒子做類平拋運動，設粒子在電場中運動的時間為t₃，在x方向上：

3

R=v0t3，得：t3=

3 R

v0

y方向：vy=at3=

qE

m

?t3，
又由于：

vy

v0

=tanα=

3

聯立以上3個公式解得：

q

m

=

v 2 0

ER

（2）沿電場線方向粒子的位移：y=

1

2

a

t

2 3

=

1

2

?

qE

m

?

t

2 3

=

1

2

?

v 2 0

ER

?E?

3R2

v 2 0

=

3R

2

所以粒子進入電場時的坐標N（0，

3R

2

），所以畫出粒子運動的軌跡如圖：
設粒子做圓周運動的半徑為r，則r+rcosθ=

3R

2

，rsinθ=

R

2

解以上兩個方程得：r=

5

6

R
洛倫茲力提供粒子做圓周運動的向心力，得：qv0B=

m v 2 0

r

所以：B=

mv0

qr

=

ER

v 2 0

?v0?

5

6R

=

5E

6v0

（3）粒子在磁場中運動的周期：T=

2πr

v0

=

5πR

3v0

設粒子在磁場中運動的時間為t₁，在磁場和電場之間運動的時間為t₂，

t1

T

=

β

360°

，β=π-arcsin

R 2

r

=π-arcsin

3

5

=180°-37°=153°
所以：t1=

153°

360°

?

5πR

3v0

=

17πR

24v0

粒子在磁場和電場之間運動的時間：t2=

R 2

v0

=

R

2v0

粒子從射入磁場到射出電場的時間：t=t₁+t₂+t₃=

17πR

24v0

+

R

2v0

+

3 R

v0

答：（1）帶電粒子的比荷

q

m

=

v 2 0

ER

；
（2）磁感應強度的大小B=

5E

6v0

；
（3）粒子從射入磁場到射出電場的時間t=

17πR

24v0

+

R

2v0

+

3 R

v0

．

點評：粒子在電場中運動偏轉時，常用能量的觀點來解決問題，有時也要運用運動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間的確定也是本題的一個考查重點，要正確畫出粒子運動的軌跡圖，能熟練的運用幾何知識解決物理問題．