Question

如圖所示，V形細桿AOB能繞其對稱軸OO′轉動，OO′沿豎直方向，V形桿的兩臂與轉軸間的夾角均為α=45°．兩質量均為m=0.1kg的小環，分別套在V形桿的兩臂上，并用長為l=1.2m、能承受最大拉力F_max=4.5N的輕質細線連結，環與臂間的最大靜摩擦力等于兩者間彈力的0.2倍．當桿以角速度ω轉到時，細線始終處于水平狀態，取g=10m/s²．
（1）求桿轉動角速度的最小值ω_min；
（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細線斷裂，求細線斷裂時轉動的角速度ω_m；
（3）求角速度從ω_min增大到ω_m的過程中桿對每個環所做的功．

Answer 1

分析：（1）角速度最小時，環受重力、支持力和最大靜摩擦力（沿桿向上），正交分解后根據牛頓第二定律列式；
（2）細線斷裂前瞬間，環受重力、拉力、支持力和最大靜摩擦力（沿桿向下），正交分解后根據牛頓第二定律列式；
（3）對環運用動能定理列式求解．

解答：解：（1）角速度最小時，對環受力分析，如圖所示：
根據牛頓第二定律，有：
F_Nsin45°+f_maxcos45°=mg            …①
F_Ncos45°-f_maxsin45°=mω

2 min

r        …②
其中：f_max=μF_N                     …③
r=

l

2

聯立解得：ω_min=

10

3

rad/s≈3.33rad/s    …④
（2）當小環有上滑趨勢，細線拉力達到最大時，桿轉動的角速度最大，最大靜摩擦力反向，根據牛頓第二定律，有：
F_Nsin45°-f_maxcos45°=mg            …⑤
F_max+F_Ncos45°-f_maxsin45°=mω

2 max

r   …⑥
解得：ω_max=10rad/s                 …⑦
（3）角速度從ω_min增大到ω_m的過程中，桿對環的力是變力，重力不做功，故：
W=

1

2

m(r

ω

max

)2-

1

2

m

(rω

min

)2=

1

2

×0.1×(10×0.6)2-

1

2

×0.1×(3.33×0.6)2=1.6J  
答：（1）求桿轉動角速度的最小值為3.33rad/s；
（2）細線斷裂時轉動的角速度為10rad/s；
（3）角速度從ω_min增大到ω_m的過程中桿對每個環所做的功wei 1.6J．

點評：本題關鍵是受力分析后明確向心力來源，然后根據牛頓第二定律列式求解；對于向心力公式，江蘇等一些省市考綱中明確規定只考慮各個分力同向時的情況．