Question

一條寬度為L的河，水流速度為，已知船在靜水中速度為，那么：
（1）怎樣渡河時間最短？
（2）若，怎樣渡河位移最小？
（3）若，怎樣渡河船漂下的距離最短？

Answer 1

（1）船頭與河岸垂直，
（2）船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ，
（3）船頭與河岸的夾角應(yīng)為

：（1）小船過河問題，可以把小船的渡河運動分解為它同時參與的兩個運動，一是小船運動，一是水流的運動，船的實際運動為合運動。如圖4所示。設(shè)船頭斜向上游與河岸成任意角θ。這時船速在垂直于河岸方向的速度分量為，渡河所需要的時間為，可以看出：L、v_船一定時，t隨sinθ增大而減小；當(dāng)時，（最大）。所以，船頭與河岸垂直。
 
圖4
（2）如圖5所示，渡河的最小位移即河的寬度。為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。這時船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ，所以有，即。
 
圖5
因為，所以只有在時，船才有可能垂直河岸渡河。
（3）若，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游，怎樣才能使漂下的距離最短呢？
如圖6所示，設(shè)船頭v_船與河岸成θ角。合速度v與河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下α角最大呢？以v_水的矢尖為圓心，v_船為半徑畫圓，當(dāng)v與圓相切時，α角最大，根據(jù)
 
圖6
船頭與河岸的夾角應(yīng)為，船沿河漂下的最短距離為：

此時渡河的最短位移：