Question

【題目】如圖所示，在xoy平面內(nèi)，有一個(gè)圓形區(qū)域的直徑AB與x軸重合，圓心O′的坐標(biāo)為（2a，0），其半徑為a，該區(qū)域內(nèi)無磁場．在y軸和直線x=3a之間的其他區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸上某點(diǎn)射入磁場．不計(jì)粒子重力．

（1）若粒子的初速度方向與y軸正向夾角為60°，且粒子不經(jīng)過圓形區(qū)域就能到達(dá)B點(diǎn)，求粒子的初速度大小v1；

（2）若粒子的初速度方向與y軸正向夾角為60°，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，且粒子也能到達(dá)B點(diǎn)，求粒子的初速度大小v2；

（3）若粒子的初速度方向與y軸垂直，且粒子從O′點(diǎn)第一次經(jīng)過x軸，求粒子的最小初速度vm．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）。

【解析】試題分析：（1）粒子不經(jīng)過圓形區(qū)域就能到達(dá)B點(diǎn)，故粒子到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度豎直向下，圓心必在x軸正半軸上，設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r1，如圖1，由幾何關(guān)系得：r1sin30°=3a﹣r1（2分）

再利用洛倫茲力提供帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力： 解得粒子的半徑為： （2分）

解得： （1分）

（2）粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)周期為： ，故粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示的圓心角為為： （1分）

粒子到達(dá)B點(diǎn)的速度與x軸夾角 β=30° （1分）

設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r2，由幾何關(guān)系得： 3a=2r2sin30°+2acos30°cos30° （1分）

再利用洛倫茲力提供帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力： 解得粒子的半徑為：

解得： （1分）

（3）設(shè)粒子從C點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，O′C與O′A夾角為θ，軌跡圓對應(yīng)的半徑為r，如圖3所示，由幾何關(guān)系得：2a="rsinθ+acosθ" （1分）

故當(dāng)θ=60°時(shí)，半徑最小為（1分）

再利用洛倫茲力提供帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力： ，

解得粒子的半徑為： （1分）

解得： （1分）