Question

光滑絕緣水平面上有甲、乙、丙三個(gè)很小的金屬球，質(zhì)量均為m，甲不帶電，乙?guī)щ娏繛?q，丙帶電量為+

1

2

q．如圖所示，空間存在半徑為R，垂直于水平面的兩勻強(qiáng)有界磁場(chǎng)．磁場(chǎng)區(qū)域半徑R=

mv0

qB0

，以磁場(chǎng)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，y軸左側(cè)磁場(chǎng)向上，右側(cè)向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B₀和4B₀．若t=0時(shí)刻，甲從B點(diǎn)以速率v₀沿著+x軸方向射出，同時(shí)，乙在第二象限內(nèi)磁場(chǎng)內(nèi)也以速率v₀從某點(diǎn)E射出，兩小球恰好在坐標(biāo)原點(diǎn)O處相碰．碰撞瞬間能量無(wú)任何損失，且甲、乙發(fā)生速度互換．已知碰后甲速度與+x軸夾角為θ=

π

3

，而乙速度沿+x軸方向．且碰后，甲、乙兩球帶電量均變?yōu)?

1

2

q．阻力及小球間的靜電力忽略不計(jì)．
注意：下面求解的位置坐標(biāo)，都要化簡(jiǎn)為關(guān)于磁場(chǎng)區(qū)域半徑R的表達(dá)式．
（1）試求乙在左側(cè)磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)圓弧

EO

的圓心O₁，坐標(biāo)（x₁、y₁）；
（2）若甲、乙相碰在O點(diǎn)時(shí)，丙從磁場(chǎng)邊界

ADC

半圓弧上某點(diǎn)F，以速率v₀射入磁場(chǎng)，要使丙射出后用最短的時(shí)間和乙在某點(diǎn)G處相碰撞，試求出G點(diǎn)坐標(biāo)（x₂、y₂）；
（3）若甲、乙相碰在O點(diǎn)時(shí)，丙從第一象限內(nèi)磁場(chǎng)中的某點(diǎn)H，以速率v₀射出后，恰好能在（2）問(wèn)中的G點(diǎn)和乙球相碰，碰撞瞬間，乙、丙速度互換，此后乙又和甲在某點(diǎn)I發(fā)生了碰撞．試求I點(diǎn)坐標(biāo)（x₃、y₃）．

Answer 1

分析：粒子在磁場(chǎng)中受到洛倫茲力，在洛倫茲力作用下粒子做勻圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滿足洛倫茲力提供向心力qvB=m

v2

R

，可得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=

mv

qB

，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πR

v

=

2πm

qB

，根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)區(qū)域的特征可以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角與周期間的關(guān)系可以求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答：解：（1）乙球在左側(cè)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力有：
qv0B=m

v 2 0

r1

則乙球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r1=

mv0

qB0

所以有：r₁=R
如圖：

根據(jù)幾何關(guān)系∠BOO₁=

π

6

O₁點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1=-Rcos

π

6

=-

3

2

R
O₁點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1=-Rsin

π

6

=-

1

2

R
（2）甲、乙碰撞后帶電量各為+

q

2

，和丙帶電量相同，因此甲、乙、丙在在右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域的圓周運(yùn)動(dòng)半徑相同，均為
r2=

mv0

4B0 q 2

=

mv0

2B0q

即：r2=

R

2

丙和乙在右側(cè)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)同步進(jìn)行，二者運(yùn)動(dòng)圓弧所對(duì)的統(tǒng)長(zhǎng)始終相等，若要使丙和乙盡快相撞，那么二者相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的弦長(zhǎng)就要最短，如圖所示，當(dāng)乙、丙進(jìn)入右側(cè)場(chǎng)區(qū)的出發(fā)點(diǎn)連線OF和+x方向夾角∠FOD=

π

6

時(shí)，乙、丙會(huì)在OF連線的中點(diǎn)G處相撞，根據(jù)幾何關(guān)系，此情景對(duì)應(yīng)時(shí)間最短．

最短時(shí)間為

T

6

又因?yàn)?span id="7fd77jj" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">T=

2πm

4B0 q 2

=

πm

B0q

所以最短時(shí)間為

πm

6B0q

此時(shí)G點(diǎn)坐標(biāo)：x2=

R

2

cos

π

6

=

3 R

4

             y2=

R

2

sin

π

6

=

1

4

R
（3）丙和乙要能夠在G點(diǎn)碰撞那么，丙的出發(fā)點(diǎn)H和G的距離HG一定等于OG長(zhǎng)度，以G點(diǎn)為圓心旋轉(zhuǎn)丙的運(yùn)動(dòng)軌跡圓，當(dāng)該軌跡圓和甲運(yùn)動(dòng)的軌跡圓弧相交于x軸上的I點(diǎn)時(shí)，可以滿足題設(shè)條件：即丙從H點(diǎn)射出后，經(jīng)過(guò)

T

6

和乙球在G點(diǎn)相碰，乙、丙速度互換，此后又經(jīng)過(guò)

T

6

，乙和甲在I點(diǎn)發(fā)生了碰撞．
如圖：

根據(jù)幾何關(guān)系可知：
I點(diǎn)的橫坐標(biāo)：x3=2

R

2

cos

π

6

=

3 R

2

I點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₃=0
答：（1）乙在左側(cè)磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)圓弧

EO

的圓心O₁，坐標(biāo)（-

3 R

2

，-

R

2

）；
（2）若甲、乙相碰在O點(diǎn)時(shí)，丙從磁場(chǎng)邊界

ADC

半圓弧上某點(diǎn)F，以速率v₀射入磁場(chǎng)，要使丙射出后用最短的時(shí)間為

πm

6B0q

和乙在某點(diǎn)G處相碰撞的坐標(biāo)（

3 R

4

，

R

4

）；
（3）若甲、乙相碰在O點(diǎn)時(shí)，丙從第一象限內(nèi)磁場(chǎng)中的某點(diǎn)H，以速率v₀射出后，恰好能在（2）問(wèn)中的G點(diǎn)和乙球相碰，碰撞瞬間，乙、丙速度互換，此后乙又和甲在某點(diǎn)I發(fā)生了碰撞，則I點(diǎn)坐標(biāo)（-

3 R

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：能正確處理洛倫茲力提供向心力算得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)半徑與周期間的關(guān)系，能在磁場(chǎng)圖中正確的畫出粒子圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系可以求得相應(yīng)的結(jié)果．解決本題的根本是正確畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，并能根據(jù)半徑周期關(guān)系求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間．