Question

如圖所示，在光滑絕緣水平面上有直角坐標系xoy，將半徑為R=0.4m，內徑很小、內壁光滑、管壁極薄的圓弧形絕緣管AB水平固定在第二象限內，它的A端和圓心都在y軸上，B端在x軸上，與y軸負方向夾角θ=60º。在坐標系的第一、四象限不同區域內存在著四個垂直于水平面的勻強磁場， a、b、c為磁場的理想分界線，它們的直線方程分別為；在a、b所圍的區域Ⅰ和b、c所圍的區域Ⅱ內的磁感應強度分別為、，第一、四象限其它區域內磁感應強度均為。當一質量m =1.2×10^﹣5、電荷量q =1.0×10^﹣6C，直徑略小于絕緣管內徑的帶正電小球，自絕緣管A端以v =2.0×10^{﹣2 m/s}的速度垂直y軸射入管中，在以后的運動過程中，小球能垂直通過c、a，并又能以垂直于y軸的速度進入絕緣管而做周期性運動。求：
（1）的大小和方向；
（2）、的大小和方向；
（3）在運動的一個周期內，小球在經過第一、四象限的過程中，在區域Ⅰ、Ⅱ內運動的時間與在區域Ⅰ、Ⅱ外運動的時間之比。 

Answer 1

（1）T 方向垂直水平面向下（2） （3）

（1）小球在第一象限過a做半徑為R的勻速圓周運動
由牛頓第二定律有：       （2分）
解得：         ①
代入數據得：T        （2分）
由左手定則知方向垂直水平面向下.（2分）

（2）要使小球不停的做周期性運動，則區域Ⅰ、Ⅱ內小球運動的半徑應相等，區域Ⅰ、Ⅱ的磁感應強度應等大反向，的方向為垂直水平面向下，的方向為垂直水平面向上                   （2分）
小球做周期性運動的徑跡如圖甲.
設在區域Ⅱ、Ⅰ內小球的圓心為、，小球圓周運動的半徑為，偏轉角為，如圖乙所示.
由幾何知識知：②（1分）

     ③（1分）
             ④（1分）
解②③④得          ⑤（2分）
                      （2分）
                    ⑥（1分）
解④⑤得            
則有：  （2分）
（3）由知：
小球在第4象限過c以前做勻速圓周運動時間為        ⑦（2分）
小球在區域Ⅰ、區域Ⅱ做勻速圓周運動時間共為        ⑧（1分）
小球在第1象限區域Ⅰ以上做勻速圓周運動時間為      ⑨（1分）
設在運動的一個周期內，小球在通過第一、四象限的過程中，在區域Ⅰ、Ⅱ內運動的時間與在區域Ⅰ、Ⅱ外時間之比為 則                    ⑩

解⑤⑥⑦⑧⑨⑩得             （2分）