Question

如圖所示，半徑為R的光滑半圓環軌道豎直固定在一水平光滑的桌面上，桌距水平地面的高度也為R．在桌面上輕質彈簧被a、b兩個小球擠壓（小球與彈簧不拴接），處于靜止狀態．同時釋放兩個小球，小球a、b與彈簧在水平桌面上分離后，a球從B點滑上光滑半圓環軌道并恰能通過半圓環軌道最高點A，b球則從桌面C點滑出后落到水平地面上，落地點距桌子右側的水平距離為

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R．已知小球a質量為m，重力加速度為g．
求：（1）釋放后a球離開彈簧時的速度大小；
（2）釋放后b球離開彈簧時的速度大小；
（3）釋放小球前彈簧具有的彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）小球a恰好能通過A點，重力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解A點速度，然后根據機械能守恒定律求解a球剛離開彈簧時的速度；
（2）b球離開桌面后做平拋運動，根據平拋運動的規律列式求解；
（3）彈簧彈開兩個球過程，系統機械能守恒，總動量也守恒，根據守恒定律列方程求解．

解答：解：（1）a球恰能通過半圓環軌道最高點A，故有：mg=m

v 2 A

R

；
a球從B運動到A過程中機械能守恒，固有：

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 A

+2mgR；
聯立解得：va=vB=

5gR

即釋放后a球離開彈簧時的速度大小為

5gR

；
（2）b球則從桌面C點滑出做平拋運動：
豎直分運動：h=

1

2

gt2
水平分運動：vC=

x

t

代入數據求得：vb=vc=

5gR

2

故釋放后b球離開彈簧時的速度大小為

5gR

2

；
（3）以ab與彈簧為研究對象，動量守恒：0=mv_a-m_bv_b
解得：m_b=2m
彈簧的彈性勢能為：EP=

1

2

m

v

2 a

+

1

2

mb

v

2 b

解得
E_P=3.75mgR
故釋放小球前彈簧具有的彈性勢能為3.75mgR．

點評：本題關鍵明確兩個球各個過程中的運動情況，然后對分別運用動量守恒定律、機械能守恒定律、平拋運動的規律列式求解．