Question

【題目】如圖所示，在圓柱形屋頂中心天花板O點(diǎn)，掛一根L=3 m的細(xì)繩，繩的下端掛一個(gè)質(zhì)量m為0.5 kg的小球，已知繩能承受的最大拉力為10 N.小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度逐漸增大到繩斷裂后，小球以v=9m/s的速度落在墻邊.

求這個(gè)圓柱形房屋的高度H和半徑R.（g取10 m/s2）

Answer 1

【答案】3.3m 4.8m

【解析】

整體分析：設(shè)繩與豎直方向夾角為θ，則通過(guò)重力與拉力的關(guān)系求出夾角θ，小球在繩子斷開(kāi)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)求出下落的高度，根據(jù)幾何關(guān)系即可求得H，根據(jù)向心力公式求出繩斷時(shí)的速度，進(jìn)而求出水平位移，再根據(jù)幾何關(guān)系可求R。

（1）如圖所示，選小球?yàn)檠芯繉?duì)象，設(shè)繩剛要斷裂時(shí)細(xì)繩的拉力大小為T，繩

與豎直方向夾角為θ，則在豎直方向有：T cosθ-mg=0，

解得： ，故θ=60°

那么球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：

OO′間的距離為：OO′=Lcos60°=1.5m，

則O′O″間的距離為O′O″=H-OO=H-1.5m．

根據(jù)牛頓第二定律：

聯(lián)立以上并代入數(shù)據(jù)解得：

設(shè)在A點(diǎn)繩斷，細(xì)繩斷裂后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，落在墻邊C處．

設(shè)A點(diǎn)在地面上的投影為B，如圖所示．

由速度運(yùn)動(dòng)的合成可知落地速度為：v2=vA2+（gt）2，

代入數(shù)據(jù)可得小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=0.6s

由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知小球在豎直方向上的位移為：

所以屋的高度為H=h1+1.5m=3.3m

小球在水平方向上的位移為：　　

由圖可知，圓柱形屋的半徑為R2=r2+(xBC)2

代入數(shù)據(jù)解得：R=4.8m