Question

如圖所示，Ⅰ、Ⅱ區域是寬度均為L=0.5m的勻強磁場，磁感應強度大小B=1T，方向相反．一邊長L=0.5m、質量m=0.1kg、電阻R=0.5Ω的正方形金屬線框，在外力作用下，以初速度v₀=10m/s勻速穿過磁場區域．
（1）取逆時針方向為正，作出i-t圖象；
（2）求線框穿過磁場區域的過程中外力做的功；
（3）若不施加外力，確定線框最終停止的位置．

Answer 1

分析：（1）將線框穿過磁場的過程分成三段，分別根據感應電動勢公式求出感應電動勢，由右手定則判斷感應電流方向．作出i-t圖象．
（2）線框勻速穿過磁場區域時，外力做功等于線框中產生的焦耳熱．
（3）若不施加外力，線框進入磁場后受到安培力，根據牛頓第二定律列出加速度表達式，將a=

△v

△t

代入，并求和，采用積分法求出線框通過Ⅰ的過程線框的末速度，再對線框進入Ⅱ的過程，運用積分法求解線框進入磁場后運動的位移大小．

解答： 解：
（1）感應電流I₁=

BLv

R

=10A，逆時針方向取正值；時間間隔t₁=0.05s
   I₂=

2BLv

R

=20A，順時針方向取負值；時間間隔t₂=0.05s
   I₃=

BLv

R

=10A，逆時針方向取正值；時間間隔t₃=0.05s
電流隨時間變化關系如圖所示．
（2）因為線框勻速運動，所以外力做的功等于電流做的功
W=

I

2 1

Rt1+

I

2 2

Rt2+

I

2 3

Rt3=15J
（3）沒有外力時，線框在安培力作用下做變減速運動
線框通過Ⅰ的過程中：-

B2L2v

R

=ma
即-

B2L2

R

v△t=m△v
-

B2L2

R

△x=m△v
得到-

B2L2

R

△x=m△v
解得，v₁=7.5m/s
線框進入Ⅱ的過程中：-

4B2L2v

R

=ma=m

△v

△t

即-

4B2L2v

R

△t=m△v
-

4B2L2

R

△x=m△v
解得，x₂=0.375m
即線框進入磁場后運動x=x₁+x₂=0.875m．
答：
（1）取逆時針方向為正，作出i-t圖象如圖；
（2）線框穿過磁場區域的過程中外力做的功為15J；
（3）若不施加外力，線框進入磁場后運動0.875m停止．

點評：本題難點是運用積分法求解非勻變速運動的速度和位移，關鍵從牛頓第二定律入手，根據加速度的定義式a=

△v

△t

分析．