Question

2007年10月24日18時05分，搭載著我國首顆探月衛星“嫦娥一號”的長征三號甲運載火箭在西昌衛星發射中心三號塔架點火發射。11月5日10時35分左右，經過180多萬千米長途飛行的“嫦娥一號”衛星，被月球成功捕獲，開始繞月球做無動力狀態下的橢圓軌道運動。如圖所示為該橢圓軌道示意圖，已知遠月點距月心距離為r_a，近月點距月心距離為r_b。此后，衛星還將進行兩次近月制動，最終進入距離月球200千米、周期為127分鐘的圓形軌道。若衛星運動遵守開普勒三定律，其第二定律內容可簡化為如下表達式：r_a×v_a=r_b×v_b，式中v_a、v_b分別是遠月點和近月點衛星運行速度；第三定律內容可表述為：如果衛星繞月球做圓周運動的半徑與做橢圓運動的長半軸相等，則兩者周期相等；衛星在距月心距離為r時，引力勢能可寫成-GMm/r。若已知月球質量為M，引力常量為G，忽略衛星在太空運行時的一切阻力。根據以上信息求：

（1）“嫦娥一號”衛星在該橢圓軌道上的運行周期；

（2）“嫦娥一號”衛星的近月運行速度。

Answer 1

解：（1）衛星繞月球做圓周運動的半徑與做橢圓運動的半長軸相等時，則兩者周期相等。

令衛星質量為m，對以半長軸R為半徑繞月球做圓周運動的衛星，據萬有引力定律得：

 

R=

所以T=π(r_a+r_b)

所以“嫦娥一號”在橢圓軌道上的運行周期

T=π(r_a+r_b)。

（2）據開普勒三定律中的第二定律：r_av_a=r_bv_b

對衛星，據機械能守恒，有：

mv_a²/2-GMm/r_a=mv_b²/2-GMm/r_b

由上兩式得“嫦娥一號”近月運行速度

v_b=。

本題考查天體運動、萬有引力定律、開普勒第二定律、機械能守恒等有關知識。