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若F₁，F₂分別是橢圓

x2

4

+y²=1的左、右焦點．
（1）設點P是第一象限內橢圓上的點，且

PF1

•

PF2

=-

5

4

，求點P的坐標；
（2）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的點A，B，且

OA

•

OB

＞0，（其中O為原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

計算：
①

25 9

-（

8

27

） 

1

3

-（π+e）⁰+（

1

4

） -

1

2

；
②2lg⁵+lg4+ln

e

．

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

3

2

．它有一個頂點恰好是拋物線x²=4y的焦點．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|QP|=|PC|．
（Ⅰ）求動點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左右頂點分別為A，B，直線AC（C點不同于A，B）與直線x=2交于點R，D為線段RB的中點．試判斷直線CD與曲線E的位置關系，并證明你的結論．

如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，CD=2，PA=AD=AB=1，E為PC的中點．
（1）求證：EB∥平面PAD；
（2）求直線BD與平面PCD所成的角；
（3）求二面角A-PC-D的大小．

近年空氣質量逐步惡化，霧霾天氣現象出現增多，大氣污染危害加重．大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病．為了解某市心肺疾病是否與性別有關，在某醫院隨機的對入院50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表：

	患心肺疾病	不患心肺疾病	合計
男		5
女	10
合計			50

已知在全部50人中隨機抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為

3

5

．
（Ⅰ）請將上面的列聯表補充完整；
（Ⅱ）是否有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關？說明你的理由；
（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．現在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進行其他方面的排查，記選出患胃病的女性人數為ξ，求ξ的分布列，數學期望以及方差；大氣污染會引起各種疾病，試淺談日常生活中如何減少大氣污染．
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

其中n=a+b+c+d）

若橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e為

3

5

，且橢圓C的一個焦點與拋物線y²=-12x的焦點重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M（2，0），點Q是橢圓上一點，當|MQ|最小時，試求點Q的坐標；
（3）設P（m，0）為橢圓C長軸（含端點）上的一個動點，過P點斜率為k的直線l交橢圓與A，B兩點，若|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無關，求k的值．

討論關于x的方程：x²+a=0的根的個數．

已知函數f（x）=

1

3

x³+ax²+bx，且f′（-1）=0．
（1）試用含a的代數式表示b；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）當a=3時，設函數f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），證明：線段MN與曲線f（x）存在異于M、N的公共點．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

．
（Ⅰ）若原點到直線x+y-b=0的距離為

2

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過橢圓的右焦點且傾斜角為45°的直線和橢圓交于A，B兩點．當|AB|=

3

，求b的值．

已知二次函數f（x）滿足：①當x=1時有極值；②圖象與y軸交點的縱坐標為-3，且在該點處的切線與直線x=2y-4垂直．
（1）求f（1）的值；
（2）若函數g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一點處的切線斜率恒大于a²-a-2，求實數a的取值范圍．