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已知函數f（x）=alnx-

1

x

（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=-

1

2

x垂直，求切線方程；
（2）討論f（x）的單調性；
（3）當a=1，且x≥2時，證明f（x-1）≤2x-5．

已知f（x+

1

x

）=x²+

1

x2

，求f（x）的解析式．

某青少年研究中心為了統計某市青少年（18歲以下）2014年春節所收壓歲錢的情況進而研究青少年的消費去向，隨機抽查了該市60名青少年所收壓歲錢的情況，得到如下數據統計表：

壓歲錢（單位：千元）	頻數	頻率
（0，0.5]	3	0.05
（0.5，1]	x	p
（1，1.5]	9	0.15
（1.5，2]	15	0.25
（2，2.5]	18	0.30
（2.5，3]	y	q
合計	60	1.00

已知“超過2千元的青少年”與“不超過2千元的青少年”人數比恰好為2：3．
（Ⅰ）試確定x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖（如圖）．
（Ⅱ）該機構為了進一步了解這60名青少年壓歲錢的消費去向，從“超過2千元的青少年”、“不超過2千元的青少年”中用分層抽樣的方法確定10人，若需從這10人中隨機選取3人進行問卷調查．設為選取的3人中“超過2千元的青少年”的人數，求的分布列和數學期望．
（Ⅲ）若以頻率估計概率，從該市青少年中隨機抽取15人進行座談，若15人中“超過2千元的青少年”的人數為η，求η的期望．

已知△ABC的兩頂點B（1，0）和C（-1，0），兩邊AB、AC所在直線的斜率之積是-2．
（1）求頂點A的軌跡Q；
（2）若不經過點B、C的直線l與軌跡Q只有一個公共點，且公共點在第一象限，試求直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積的最小值，并求此時直線l的方程．

設圓C₁：x²+y²=5與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）在第一象限內的交點為R（2，m）．
（Ⅰ）求m的值及拋物線C₂的方程；
（Ⅱ）若P在拋物線C₂在兩點O，R之間的部分運動，其中O為坐標原點，直線l過點P且與拋物線C₂只有一個公共點，l與圓C₁相交于兩點A，B，求△OAB的面積的取值范圍．

如圖：內接于⊙O的△ABC的兩條高線AD、BE相交于點H，過圓心O作OF⊥BC于 F，連接AF交OH于點G，并延長CO交圓于點I．
（1）若

OF

=λ

AH

，試求λ的值；
（2）若

CH

=x

OA

+y

OB

，試求x+y的值；
（3）若O為原點，點B的坐標為（-4，-3），點C的坐標為C（4，-3），試求點G的軌跡方程．

已知橢圓C的中心在原點O，其右焦點為F（1，0），長軸長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為1的直線l經過點F，交橢圓C于M，N兩點，P為橢圓位于第四象限上一點，且OP⊥MN，求四邊形OMPN的面積．

已知函數f（x）=2|x+1|-x．
（Ⅰ）根據絕對值和分段函數知識，將f（x）寫成分段函數；
（Ⅱ）在如圖的直角坐標系中畫出函數f（x）的圖象：
（Ⅲ）根據圖象，寫出函數f（x）的單調區間、值域．（不要求證明）

已知橢圓的一個頂點為A（0，-1），焦點在x軸上，其右焦點到直線x-y+2

2

=0的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證橢圓與直線y=x-2相切．

如圖，已知平行四邊形ABCD中，AD=2，CD=

2

，∠ABC=45°，AE⊥BC，垂足為E，沿直線AE將△BAE翻拆成△B₁AE，使得平面B₁AE⊥平面AECD，連接B₁D，P是線段B₁D上的點，且滿足

B1P

=λ

B1D

．
（Ⅰ）λ=

1

2

時，求證CP⊥平面AB₁D；
（Ⅱ）若平面AB₁E與平面PAC所成的二面角的余弦值為

11

11

，求AP與平面AB₁E所成角的余弦值．