Question

已知直線x-y+=0經過橢圓C：（a＞b＞0）的一個頂點B和一個焦點F．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設P是橢圓C上動點，求||PF|-|PB||的取值范圍，并求||PF|-|PB||取最小值時點P的坐標．

Answer 1

解：（1）依題意，B（0，1），F（，0），所以b=1，c=…（2分），
所以…（3分），
所以橢圓的離心率…（4分）．
（2）0≤||PF|-|PB||≤|BF|，當且僅當|PF|=|PB|時，||PF|-|PB||=0…（5分），
當且僅當P是直線BF與橢圓C的交點時，||PF|-|PB||=|BF|…（6分），|BF|=2，
所以||PF|-|PB||的取值范圍是[0，2]…（7分）．
設P（m，n），由|PF|=|PB|得m+n+1=0…（9分），
代入橢圓方程，消去n可得13m²+8m=0，∴m=0或m=-
m=0時，n=-1；m=-時，n=…（11分），
∴所求點P為p（0，-1）和P（-，）…（12分）．
分析：（1）根據直線x-y+=0，可得B（0，1），F（，0），即以b=1，c=，進而可得橢圓的離心率；
（2）0≤||PF|-|PB||≤|BF|，當且僅當|PF|=|PB|時，||PF|-|PB||=0，當且僅當P是直線BF與橢圓C的交點時，||PF|-|PB||=|BF|…（6分），|BF|=2，由此可得||PF|-|PB||的取值范圍是[0，2]；根據|PF|=|PB|，可得點P的坐標．
點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓方程的運用，正確確定橢圓的方程是關鍵．