Question

商學院為推進后勤社會化改革，與桃園新區商定：由該區向建設銀行貸款500萬元在桃園新區為學院建一棟可容納一千人的學生公寓，工程于2002年初動工，年底竣工并交付使用，公寓管理處采用收費還貸償還建行貸款（年利率5%，按復利計算），公寓所收費用除去物業管理費和水電費18萬元．其余部分全部在年底還建行貸款．
（1）若公寓收費標準定為每生每年800元，問到哪一年可償還建行全部貸款；
（2）若公寓管理處要在2010年底把貸款全部還清，則每生每年的最低收費標準是多少元（精確到元）．（參考數據：lg1.7343=0.2391，lgl.05=0.0212，1.05⁸=1.4774）

Answer 1

解：（1）依題意，公寓2002年底建成，2003年開始使用．
設公寓投入使用后n年可償還全部貸款，
則公寓每年收費總額為1000×800（元）=800000（元）=80萬元，
扣除18萬元，可償還貸款62萬元．
依題意有　62[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）^n-1]≥500（1+5%）ⁿ⁺¹．
化簡得62（1.05ⁿ-1）≥25×1.05ⁿ⁺¹．
∴1.05ⁿ≥1.7343．
兩邊取對數整理得．
∴取n=12（年）．
∴到2014年底可全部還清貸款．
（2）設每生和每年的最低收費標準為x元，
因到2010年底公寓共使用了8年，
依題意有…+（1+5%）⁷]≥500（1+5%）⁹．
化簡得．
∴（元）
故每生每年的最低收費標準為992元．
分析：（1）依題意，公寓2002年底建成，2003年開始使用．設公寓投入使用后n年可償還全部貸款，依題意有　62[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）^n-1]≥500（1+5%）ⁿ⁺¹．由此能求出到2014年底可全部還清貸款．
（2）設每生和每年的最低收費標準為x元，因到2010年底公寓共使用了8年，依題意有…+（1+5%）⁷]≥500（1+5%）⁹．由此能求出每生每年的最低收費標準為992元．
點評：本題考查數列知識在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要注意對數性質的靈活運用．