Question

對于每項均是正整數的數列A：a₁，a₂，…，a_n，定義變換T₁，T₁將數列A變換成數列
T₁（A）：n，a₁-1，a₂-1，…，a_n-1
對于每項均是非負整數的數列B：b₁，b₂，…，b_m，定義變換T₂，T₂將數列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數列T₂（B）；
又定義S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b₁²+b₂²+…+b_m²
設A₀是每項均為正整數的有窮數列，令A_k+1=T₂（T₁（A_k））（k=0，1，2，…）。
（1）如果數列A₀為5，3，2，寫出數列A₁，A₂；
（2）對于每項均是正整數的有窮數列A，證明S（T₁（A））=S（A）；
（3）證明：對于任意給定的每項均為正整數的有窮數列A₀，存在正整數K，當k≥K時，S（A_k+1）=S（A_k）。

Answer 1

解：（1）



。
（2）設每項均是正整數的有窮數列A為，則為，，，…，，從而

又，
所以


故。
（3）證明：設A是每項均為非負整數的數列
當存在，使得時，交換數列A的第i項與第j項得到數列B，
則
當存在，使得時，
若記數列為C，
則
所以
從而對于任意給定的數列，由
可知
又由（2）可知，
所以
即對于，要么有，要么有
因為是大于2的整數，
所以經過有限步后，必有
即存在正整數K，當時，。