Question

【題目】在數列中， ， ， ，其中．

⑴ 求證：數列為等差數列；

⑵ 設， ，數列的前項和為，若當且為偶數時， 恒成立，求實數的取值范圍；

⑶ 設數列的前項的和為，試求數列的最大值.

Answer 1

【答案】⑴見解析⑵⑶

【解析】試題分析：（1）根據題意，由數列的遞推公式分析可得與的關系式，由等差數列的定義分析可得答案；
（2）根據題意，求出數列數列的前項和為的表達式，當 且為偶數時，設，求出的表達式，分析可得答案；
（3）由（2）的結論求出 即可得的表達式，設 ，由數列的函數特征分析數列 變化的規律，分析可得答案．

試題解析：

⑴證明：

，

，

數列是公差為1的等差數列；

⑵由⑴可知， ，故.

因為，

所以 ，

當且為偶數時，設，

則

，

要使對且為偶數恒成立，

只要使對且為偶數恒成立，

即使對為正偶數恒成立，

， ，故實數的取值范圍是；

⑶由⑴得， ，

，

，

設，

，

當時， ，即，

當時， ，即，

，

因此數列的最大值為．