Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過原點，且f（x-1）=f（x）+x-1．
（1）求f（x）的表達式．
（2）設(shè)F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），當(dāng)x∈[-1，1]時，F(xiàn)（x）有最大值14，試求a的值．

Answer 1

分析：（1）待定系數(shù)法：由f（x）圖象經(jīng)過原點可設(shè)f（x）=ax²+bx（a≠0），由f（x-1）=f（x）+x-1得關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（2）F（x）可化為F（x）=a^2x+2a^x-1，令t=a^x，則F（x）可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，分a＞1，0＜a＜1兩種情況進行討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得最大值，令其為14，可解得a值；

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）圖象經(jīng)過原點，∴設(shè)f（x）=ax²+bx（a≠0），
∵f（x-1）=f（x）+x-1，
∴a（x-1）²+b（x-1）=ax²+bx+x-1，即ax²-（2a-b）x+a-b=ax²+（b+1）x-1，
∴

-(2a-b)=b+1 a-b=-1

，解得a=-

1

2

，b=

1

2

．
∴f(x)=-

1

2

x2+

1

2

x．
（2）由F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a^2x+2a^x-1，
①當(dāng)a＞1時，令t=a^x，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

a

，a]，
∴g（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2，t∈[

1

a

，a]，
∵對稱軸t=-1，∴g（t）在[

1

a

，a]上是增函數(shù)．
∴g（a）=a²+2a-1=14，∴a²+2a-15=0，解得a=3，a=-5（舍）；
②當(dāng)0＜a＜1時，
令u=a^x，∵x∈[-1，1]，∴u∈[a，

1

a

]，
∴g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[a，

1

a

]，
∵對稱軸u=-1，∴g（u）在[a，

1

a

]上是增函數(shù)．
∴g(

1

a

)=(

1

a

)2+

2

a

-1=14，∴

1

a

=3，

1

a

=-5（舍），∴a=

1

3

，
綜上a=

1

3

或a=3．

點評：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，考查學(xué)生解決問題的能力．